Để giải phương trình \( 4^{2x+1} = 16^{2x+1} \), ta sẽ biến đổi cả hai vế. Đầu tiên, ta biết rằng:

\[
4 = 2^2 \quad \text{và} \quad 16 = 2^4
\]

Do đó, ta có:

\[
4^{2x+1} = (2^2)^{2x+1} = 2^{2(2x+1)} = 2^{4x+2}
\]

Và:

\[
16^{2x+1} = (2^4)^{2x+1} = 2^{4(2x+1)} = 2^{8x+4}
\]

Như vậy, phương trình trở thành:

\[
2^{4x+2} = 2^{8x+4}
\]

Vì cùng có cơ số là \(2\), ta có thể bỏ đi và giải phương trình:

\[
4x + 2 = 8x + 4
\]

Giải phương trình này, ta chuyển hết về một phía:

\[
4x - 8x + 2 - 4 = 0
\]

\[
-4x - 2 = 0
\]

\[
-4x = 2
\]

\[
x = -\frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-\frac{1}{2}}
\]