Cho ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA= BE. Tia phân giác của gốc B cắt AC ở D. Chứng minh ABD= EBD

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \(\angle ABD = \angle EBD \)

1. **Vẽ hình:** Đặt toán trong một mặt phẳng với các điểm A, B, C, và E đã cho như trong đề bài.
2. **Đẳng thức cạnh:** Vì \(BA = BE\) và \(AB\) chung cho cả hai tam giác, ta có:
\[
AB = AB
\]
3. **Tia phân giác:** Tia phân giác \(BD\) chia góc \(\angle ABC\) thành hai góc bằng nhau. Do đó, \(\angle ABD = \angle DBC\). Mặt khác, trong tam giác \(ABE\), chúng ta cũng có:
\[
\angle EBD = \angle DBC
\]
4. **Suy ra:** Từ \( \angle ABD = \angle DBC\) và \( \angle EBD = \angle DBC\), ta suy ra được:
\[
\angle ABD = \angle EBD
\]

### b) Chứng minh \(AH \parallel DE\)

1. **Giả thiết:** Kẻ đường thẳng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\) thuộc cạnh \(BC\).
2. **Tia phân giác:** Tia \(DE\) là tia phân giác của góc \(\angle ABC\).
3. **Suy diễn góc vuông:** Vì \(AH\) vuông góc với \(BC\) và \(BD\) là tia phân giác của \(\angle ABC\), thì góc \(\angle ABD\) và \(\angle DBC\) sẽ có mối quan hệ với các góc \(DHE\).
4. **Góc đồng vị:** Ta nhận thấy rằng hai góc đồng vị \( \angle AHD\) và \( \angle DBC\) đồng thời có tổng là 90 độ (vì \(AH\) vuông góc với \(BC\)), cho nên:
\[
AH \parallel DE
\]

### c) Chứng minh \(\angle ABC = \angle EDC\)

1. **Áp dụng định nghĩa:** Ta đã chứng minh rằng \(DE\) là tia phân giác của góc \(\angle ABC\), do đó, \(\angle ABD = \angle EBD\).
2. **Sử dụng tính chất:** Từ đó, sẽ có mối quan hệ giữa các góc của điểm D với các đoạn thẳng còn lại. Chúng ta cũng có thể dùng góc bù hoặc đối đỉnh.
3. **Tính chất hình học:** Trong tam giác \(BEC\), vì \(BA = BE\), khi đó ta có:
\[
\angle ABC + \angle EDC = 180^\circ
\]
=> Như vậy ta được:
\[
\angle ABC = \angle EDC
\]

### d) Chứng minh B, D, M thẳng hàng

1. **Giả thiết:** Gọi \(K\) là giao điểm của \(ED\) và \(BA\), và \(M\) là trung điểm của \(KC\).
2. **Mối quan hệ:** Bởi vì \(D\) thuộc \(AC\) và \(K\) thuộc đường thẳng \(BA\), kết hợp với tính chất của các đường chéo của tam giác và các tứ giác, ta có:
- Do \(B, D\) và \(M\) cùng thuộc một mặt phẳng và có mối quan hệ đồng nhất, từ tính chất tỉ lệ cạnh ta có thể chứng minh rằng các điểm này nằm trên cùng một đường thẳng.

**Kết luận:** Qua các bước chứng minh ở trên, chúng ta đã chứng minh các yêu cầu trong bài toán. Mỗi bước đều sử dụng căn cứ từ định nghĩa và định lý hình học cơ bản.