Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \sqrt{a(b+1)} + \sqrt{b(a+1)} \) với điều kiện \( a + b \leq 2 \) và \( a, b > 0 \), ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
P^2 = \left( \sqrt{a(b+1)} + \sqrt{b(a+1)} \right)^2 \leq (a+b) \left( (b+1) + (a+1) \right) = (a+b)(a+b+2)
\]

Gọi \( s = a + b \). Khi đó, từ điều kiện \( s \leq 2 \), ta có:

\[
P^2 \leq s(s+2) = s^2 + 2s
\]

Tối đa hóa \( P^2 \) khi \( s \) đạt cực đại. Thay \( s = 2 \):

\[
P^2 \leq 2(2+2) = 2 \times 4 = 8 \Rightarrow P \leq \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Ta cần kiểm tra xem có tồn tại \( a \) và \( b \) đạt được giới hạn trên này không. Chọn \( a = 1 \) và \( b = 1 \):

\[
P = \sqrt{1(1+1)} + \sqrt{1(1+1)} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
\]

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là \( 2\sqrt{2} \) khi \( a = 1 \) và \( b = 1 \).