Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Với mỗi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?

Để chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S là các đỉnh của một hình thoi, ta cần xem xét các tính chất quan trọng trong hình bình hành và các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA.

1. **Đặc điểm của giao điểm các đường phân giác**:
Mỗi điểm P, Q, R, S là giao điểm của ba đường phân giác từ các đỉnh của các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA. Theo định lý, giao điểm của ba đường phân giác là điểm nằm trong tam giác và chia các cạnh của tam giác đó thành tỉ lệ nhất định.

2. **Đối xứng qua O**:
Trong hình bình hành, các đoạn thẳng AO, BO, CO, DO có tính chất đối xứng qua điểm O, tức là AO = OC, BO = OD. Điều này tạo ra một sự đối xứng cho bốn điểm P, Q, R, S.

3. **Tính chất của hình thoi**:
Hình thoi có các cạnh đối song song và bằng nhau. Từ sự đối xứng đã nêu, các đoạn PA, QB, RC, SD sẽ đồng thời bằng nhau và tạo thành một tứ giác có các cạnh đối song song.

4. **Hai đường chéo và trung điểm**:
Việc O là giao điểm của hai đường chéo AB và CD cũng tạo ra sự đối xứng cho các tam giác kia. Do đó, các cạnh của hình thoi tạo thành giữa bốn điểm này là tương ứng và bằng nhau.

5. **Kết luận**:
Do các tính chất trên, ta có thể kết luận rằng bốn điểm P, Q, R, S tạo thành một hình thoi, vì chúng đều có sự đối xứng, cùng độ dài và các cạnh đối song song.