Chứng minh hàng đẳng thức:

Để chứng minh hàng đẳng thức \((a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)\), ta sẽ sử dụng quy tắc khai triển đa thức.

### a) Chứng minh hàng đẳng thức:

Chúng ta có thể khai triển \((a + b + c)^3\) bằng cách sử dụng quy tắc nhị thức như sau:

\[
(a + b + c)^3 = (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)
\]

Bước 1: Tính \((a + b + c)(a + b + c)\):

\[
(a + b + c)(a + b + c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2
\]
\[
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
\]

Bước 2: Nhân kết quả trên với \((a + b + c)\):

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)(a + b + c)
\]

Khi nhân từng hạng tử, ta thu được:

- \(a^2 \cdot a = a^3\)
- \(a^2 \cdot b = a^2b\)
- \(a^2 \cdot c = a^2c\)
- \(b^2 \cdot a = b^2a\)
- \(b^2 \cdot b = b^3\)
- \(b^2 \cdot c = b^2c\)
- \(c^2 \cdot a = c^2a\)
- \(c^2 \cdot b = c^2b\)
- \(c^2 \cdot c = c^3\)
- \(2ab \cdot a = 2a^2b\)
- \(2ab \cdot b = 2ab^2\)
- \(2ab \cdot c = 2abc\)
- \(2ac \cdot a = 2a^2c\)
- \(2ac \cdot b = 2abc\)
- \(2ac \cdot c = 2ac^2\)
- \(2bc \cdot a = 2abc\)
- \(2bc \cdot b = 2b^2c\)
- \(2bc \cdot c = 2bc^2\)

Tổng hợp lại, ta sẽ có:

\[
= a^3 + b^3 + c^3 + 3abc + 3(ab + ac + bc)
\]

### b) Áp dụng vào câu a, tính \((a - b + c)^2\):

Áp dụng công thức cho trường hợp \(a - b + c\):

\[
(a - b + c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2a(-b) + 2a(c) + 2(-b)(c)
\]
\[
= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc
\]

Tóm lại, hai hàng đẳng thức trên đã được chứng minh.