Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn đó

Để chứng minh khoảng cách từ điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\) đến đoạn thẳng \(AB\) không lớn hơn \(\frac{AB}{2}\), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm**: Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm đầu mút của đoạn thẳng \(AB\) và \(O\) là trung điểm của \(AB\). Vì \(AB\) là đường kính của nửa đường tròn, \(O\) cũng là tâm của nửa đường tròn.

2. **Tính độ dài \(AB\)**: Gọi \(d = AB\). Theo định lý Pitago trong tam giác vuông \(OAM\) (hoặc \(OBM\)), ta sẽ có:
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]
Trong đó:
- \(OA = \frac{d}{2}\) (bán kính của nửa đường tròn),
- \(OM\) là khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\),
- \(AM\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(M\) (luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính).

3. **Áp dụng bất đẳng thức**: Vì \(M\) nằm trên nửa đường tròn, ta có:
\[
OA^2 \geq AM^2
\]
Hay:
\[
\left(\frac{d}{2}\right)^2 \geq OM^2 + AM^2
\]
Suy ra:
\[
\frac{d^2}{4} \geq OM^2 + AM^2
\]

4. **Kết luận**: Từ bất đẳng thức trên, khoảng cách \(OM\) không thể lớn hơn \(\frac{d}{2}\) (hay \(\frac{AB}{2}\)). Điều này chứng tỏ rằng khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\) không lớn hơn \(\frac{AB}{2}\).

Do đó, ta có thể kết luận rằng khoảng cách từ điểm \(M\) đến đoạn thẳng \(AB\) không lớn hơn \(\frac{AB}{2}\).