Để tìm số giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \([-20, 20]\) sao cho hàm số \( F(x) = x^2 - 2m|x - m + 5| + m^3 - m^2 + 1 \) có đúng 1 cực trị, trước hết ta cần xác định điều kiện để hàm số này có cực trị.

1. **Xét hàm số**: Hàm \( F(x) \) sẽ có 1 cực trị ở vị trí mà đạo hàm \( F'(x) = 0 \). Để tính đạo hàm, cần chú ý đến phần biểu thức chứa giá trị tuyệt đối \( |x - m + 5| \).

2. **Phân tích giá trị tuyệt đối**: Có 2 trường hợp xảy ra:
- **Trường hợp 1**: \( x - m + 5 \geq 0 \) (tức là \( x \geq m - 5 \)): Khi đó, \( |x - m + 5| = x - m + 5 \).
- **Trường hợp 2**: \( x - m + 5 < 0 \) (tức là \( x < m - 5 \)): Khi đó, \( |x - m + 5| = -(x - m + 5) = -x + m - 5 \).

3. **Viết hàm trong từng trường hợp**:
- Đối với trường hợp 1:
\[
F(x) = x^2 - 2m(x - m + 5) + m^3 - m^2 + 1 = x^2 - 2mx + 2m^2 - 10m + m^3 - m^2 + 1
\]
- Đối với trường hợp 2:
\[
F(x) = x^2 + 2m(x - m + 5) + m^3 - m^2 + 1 = x^2 + 2mx - 2m^2 + 10m + m^3 - m^2 + 1
\]

4. **Tính đạo hàm**:
- Đạo hàm của \( F(x) \) cho từng trường hợp:
- Trường hợp 1:
\[
F'(x) = 2x - 2m
\]
- Trường hợp 2:
\[
F'(x) = 2x + 2m
\]

5. **Giải điều kiện đạo hàm bằng 0**:
- Trường hợp 1: \( 2x - 2m = 0 \Rightarrow x = m \)
- Trường hợp 2: \( 2x + 2m = 0 \Rightarrow x = -m \)

6. **Xác định số lượng cực trị**: Để hàm có đúng 1 cực trị, cần có mối liên hệ giữa \( m \), \( m - 5 \) và \( -m \):
- \( m - 5 < -m \) (hàm có đủ 1 cực trị nhờ cách chuyển giữa 2 trường hợp \( x = m \) và \( x = -m \) không giao nhau):
\[
m + m < 5 \Rightarrow 2m < 5 \Rightarrow m < 2.5
\]

- \( m - 5 = -m \):
\[
2m = 5 \Rightarrow m = 2.5
\]

- Mỗi trường hợp chỉ cho một giá trị tức là \( m < 2.5 \Rightarrow m \) là số nguyên trong khoảng \([-20, 2]\), do đó có các giá trị: -20, -19, ... đến 2.

Tổng cộng có: \( 2 - (-20) + 1 = 23 \) giá trị nguyên.

**Kết luận**: Số giá trị nguyên của \( m \) trong đoạn \([-20, 20]\) để hàm có đúng 1 cực trị là \( 23 \).