Gọi số tấn hàng của đội Một là \( x \) tấn và số tấn hàng của đội Hai là \( y \) tấn.

Theo đề bài, chúng ta có hai hệ thức:

1. Tổng hàng của hai đội là 560 tấn:
\[
x + y = 560
\]

2. Nếu chuyển 15 tấn hàng từ đội Một sang đội Hai, thì số hàng của đội Hai sẽ hơn số hàng của đội Một 50 tấn:
\[
y + 15 = x - 15 + 50
\]

Từ phương trình trên, ta có thể rút gọn:
\[
y + 15 = x + 35
\]
\[
y = x + 20
\]

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \( y \) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
\[
x + (x + 20) = 560
\]
\[
2x + 20 = 560
\]
\[
2x = 540
\]
\[
x = 270
\]

Tiếp theo, thay giá trị của \( x \) vào phương trình đầu tiên để tìm \( y \):
\[
y = 560 - x = 560 - 270 = 290
\]

Vậy số tấn hàng của đội Một là 270 tấn và số tấn hàng của đội Hai là 290 tấn.

**Kết luận:**
- Đội Một vận chuyển được 270 tấn hàng.
- Đội Hai vận chuyển được 290 tấn hàng.