Cho số tự nhiên m thỏa mãn 309 chia cho m dư 29, 345 chia cho m dư 9 và 245 chia m dư 21 . Vậy m =?

Để giải bài toán, chúng ta sẽ tìm số tự nhiên \( m \) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \( 309 \equiv 29 \ (\text{mod} \ m) \)
2. \( 345 \equiv 9 \ (\text{mod} \ m) \)
3. \( 245 \equiv 21 \ (\text{mod} \ m) \)

Từ những điều kiện này, ta có thể biến đổi các biểu thức trên thành:

1. \( 309 - 29 \equiv 0 \ (\text{mod} \ m) \) \(\Rightarrow 280 \equiv 0 \ (\text{mod} \ m)\)
2. \( 345 - 9 \equiv 0 \ (\text{mod} \ m) \) \(\Rightarrow 336 \equiv 0 \ (\text{mod} \ m)\)
3. \( 245 - 21 \equiv 0 \ (\text{mod} \ m) \) \(\Rightarrow 224 \equiv 0 \ (\text{mod} \ m)\)

Như vậy, \( m \) phải là ước chung của \( 280 \), \( 336 \) và \( 224 \).

Bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố, ta có:

1. \( 280 = 2^3 \times 5 \times 7 \)
2. \( 336 = 2^4 \times 3 \times 7 \)
3. \( 224 = 2^5 \times 7 \)

Bây giờ, để tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của ba số này, ta lấy số mũ nhỏ nhất của mỗi thừa số nguyên tố:

- Thừa số \( 2 \): Số mũ nhỏ nhất là \( 3 \).
- Thừa số \( 3 \): Có ở một số là \( 1 \) (vì nó chỉ có trong \( 336 \)).
- Thừa số \( 5 \): Có ở một số là \( 1 \) (vì nó chỉ có trong \( 280 \)).
- Thừa số \( 7 \): Số mũ là \( 1 \).

Vậy UCLN của \( 280, 336, 224 \) là:
\[
2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56.
\]

Vậy số tự nhiên \( m \) thỏa mãn tất cả các điều kiện là:
\[
\boxed{56}.
\]