Để giải phương trình \( x^2 + y^2 = 6(z^2 + t^2) \) với \( x, y, z, t \) là các số nguyên, ta sẽ sử dụng phương pháp lùi vô tận (hay còn được gọi là phương pháp lùi liên tiếp).

Đầu tiên, ta có thể viết lại phương trình:

\[
x^2 + y^2 - 6z^2 - 6t^2 = 0
\]

Ta gọi \( N = x^2 + y^2 \) và \( M = 6(z^2 + t^2) \). Khi đó, ta có:

\[
N = M
\]

Để áp dụng phương pháp lùi vô hạn, ta giả sử có một giải pháp cho phương trình này và thử tìm một giải pháp khác dựa trên giải pháp trước đó.

Có thể tìm giải pháp tự nhiên cho \( z \) và \( t \) đầu tiên, sau đó tìm \( x \) và \( y \) sao cho phương trình vẫn được thoả mãn.

**Bước 1**: Một giải pháp đơn giản là:

- Cho \( z = 0 \) và \( t = 0 \).

Khi đó:

\[
x^2 + y^2 = 0
\]

Dễ dàng nhận thấy giải pháp này cho ra \( x = 0 \) và \( y = 0 \).

**Bước 2**: Thử tìm một số cặp \( (z, t) \) khác. Ví dụ:

- Cho \( z = 1 \) và \( t = 0 \):

\[
x^2 + y^2 = 6(1^2 + 0^2) = 6
\]

Tìm các số nguyên \( (x, y) \) sao cho:

\[
x^2 + y^2 = 6
\]

Một số cặp nghiệm hợp lệ là:

1. \( (x, y) = (2, 2) \)
2. \( (x, y) = (2, -2) \)
3. \( (x, y) = (-2, 2) \)
4. \( (x, y) = (-2, -2) \)
5. \( (x, y) = (1, \sqrt{5}) \) (không hợp lệ vì không nguyên)

**Bước 3**: Phát triển thêm các trường hợp:

Ta có thể tiếp tục thử với các giá trị khác cho \( z \) và \( t \):

- Cho \( z = 1 \), \( t = 1 \):

\[
x^2 + y^2 = 6(1^2 + 1^2) = 12
\]

Các cặp nghiệm là:

1. \( (x, y) = (3, 3) \)
2. \( (x, y) = (3, -3) \)
3. \( (x, y) = (-3, 3) \)
4. \( (x, y) = (-3, -3) \)
5. \( (x, y) = (0, \sqrt{12}) \) (không hợp lệ)

Tiếp tục như vậy với các giá trị khác cho \( z \) và \( t \), ta có thể tìm thấy nhiều cặp số nguyên \( (x, y, z, t) \) khác nhau thoả mãn phương trình.

**Kết luận**: Nghiệm tổng quát của phương trình có thể được khai thác bằng cách tiếp tục tìm các cặp nghiệm nguyên \( (z, t) \) và tìm các giá trị tương ứng cho \( (x, y) \). Những gì trên chỉ là một vài ví dụ ban đầu. Còn rất nhiều nghiệm khác có thể tìm thấy trong không gian các số nguyên.