Để giải phương trình \( x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz \), chúng ta có thể áp dụng phương pháp lùi vô hạn.

**Bước 1:** Sắp xếp lại phương trình.

Điều đầu tiên chúng ta có thể làm là sắp xếp lại phương trình để có một dạng dễ hơn:

\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz = 0
\]

**Bước 2:** Phân tích đặc điểm của phương trình.

Phương trình này có thể được phân tích dựa vào các giá trị của \(z\). Ta sẽ sử dụng biến đổi để tìm mối quan hệ giữa \(x\), \(y\) và \(z\).

**Bước 3:** Áp dụng phương pháp lùi vô hạn.

Chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên cho \(z\):

- Nếu \(z = 0\):

\[
x^2 + y^2 = 0 \implies x = 0, y = 0
\]
Ta có một nghiệm là \( (0, 0, 0) \).

- Nếu \(z = 1\):

\[
x^2 + y^2 + 1 = 2xy \implies x^2 - 2xy + y^2 + 1 = 0
\]
Phương trình trên là phương trình bậc hai theo \(x\):

\[
x^2 - 2yx + (y^2 + 1) = 0
\]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{2y \pm \sqrt{(2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y^2 + 1)}}{2 \cdot 1} = y \pm \sqrt{y^2 - 1}
\]

Để \(x\) là nguyên thì \(y^2 - 1\) phải là một số hoàn hảo (có nghĩa là \((y-1)(y+1)\) phải là một số chính phương). Điều này dẫn đến việc thử các giá trị nguyên cho \(y\).

- Nếu \(y = 2\):

\[
x = 2 \pm \sqrt{2^2 - 1} = 2 \pm \sqrt{3} \quad \text{(không nguyên)}
\]
- Nếu \(y = 3\):

\[
x = 3 \pm \sqrt{3^2 - 1} = 3 \pm \sqrt{8} \quad \text{(không nguyên)}
\]
- Nếu \(y = 4\):

\[
x = 4 \pm \sqrt{4^2 - 1} = 4 \pm \sqrt{15} \quad \text{(không nguyên)}
\]

Tiếp tục thử cho các giá trị tiếp theo cho \(z\). Do phương trình là đối xứng, nếu ta tìm thấy một nghiệm \((x,y,z)\), thì các hoán vị của nghiệm đó cũng sẽ là các nghiệm.

**Bước 4:** Đánh giá nghiệm nguyên.

Cuối cùng, ta có thể tiếp tục với quá trình kiểm tra các trường hợp khác nhau của \(z\) và các giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\). Bất kỳ nghiệm nào tìm được cũng cần kiểm tra tính nguyên của nó.

**Kết luận:**
Trong trường hợp này, nghiệm nguyên duy nhất đã tìm được là \((0, 0, 0)\).
Các nghiệm khác có thể không đưa ra số nguyên khi thử các giá trị trên.

Nếu vẫn cần số nguyên khác, bạn có thể thử nghiệm một số giá trị nguyên âm hoặc khác cho \(z\).