Số tự nhiên a thoả mãn 54^7 : (7a + 12)^2 = 54^6: 54^3.54^2. Vậy số tự nhiên a là

Để tìm số tự nhiên \( a \) thoả mãn phương trình

\[
\frac{54^7}{(7a + 12)^2} = \frac{54^6}{54^3 \cdot 54^2},
\]

trước tiên, ta đơn giản hoá vế bên phải.

Vế bên phải có thể được tính như sau:

\[
\frac{54^6}{54^3 \cdot 54^2} = \frac{54^6}{54^{3+2}} = \frac{54^6}{54^5} = 54^{6-5} = 54^1 = 54.
\]

Vậy chúng ta có phương trình mới:

\[
\frac{54^7}{(7a + 12)^2} = 54.
\]

Để loại bỏ phân số, ta nhân cả hai vế với \( (7a + 12)^2 \):

\[
54^7 = 54 \cdot (7a + 12)^2.
\]

Chia cả hai vế cho 54 (giả sử \( 54 \neq 0 \)):

\[
54^6 = (7a + 12)^2.
\]

Lấy căn bậc hai của cả hai vế, ta có:

\[
54^3 = 7a + 12.
\]

Giải phương trình này theo \( a \):

\[
7a = 54^3 - 12.
\]

Tính \( 54^3 \):

\[
54^3 = 54 \times 54 \times 54 = 2916.
\]

Vậy ta có:

\[
7a = 2916 - 12 = 2904.
\]
\[
a = \frac{2904}{7}.
\]

Chia 2904 cho 7:

\[
2904 \div 7 = 414.
\]

Vậy \( a = 414 \).

Kiểm tra lại:

\[
7a + 12 = 7 \times 414 + 12 = 2898 + 12 = 2904.
\]

Tính \( (7a + 12)^2 \):

\[
2904^2 = 54^6.
\]

Lưu ý rằng \( 54^6 = (54^3)^2 \).

Vậy \( a = 414 \) là số tự nhiên thoả mãn phương trình.

Do đó, kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{414}.
\]