Để xác định dãy số nào trong các dãy số đã cho là dãy số chẵn, ta xét từng dãy như sau:

1. **Dãy \( u_n = n^2 + 1 \)**:
- Khi \( n \) là số chẵn (\( n = 2k \)), thì \( u_n = (2k)^2 + 1 = 4k^2 + 1 \) (là số lẻ).
- Khi \( n \) là số lẻ (\( n = 2k + 1 \)), thì \( u_n = (2k + 1)^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 \) (là số chẵn).
- Kết luận: \( u_n \) có thể là chẵn hoặc lẻ, không bị chẵn.

2. **Dãy \( u_n = \frac{2}{3n} \)**:
- Khi \( n \) là số nguyên dương, \( u_n \) luôn là số không nguyên và không thể chẵn lẻ.
- Kết luận: Dãy này không thuộc dạng chẵn.

3. **Dãy \( u_n = n + \sin n \)**:
- Hàm \( \sin n \) cho giá trị trong khoảng [-1, 1]. Vì vậy, \( u_n \) có giá trị gần bằng \( n \).
- Khi \( n \) là số chẵn, \( u_n \) có thể là số chẵn hoặc lẻ.
- Kết luận: Dãy này cũng không bị chẵn.

4. **Dãy \( u_n = \sin^2 n \)**:
- Giá trị của \( \sin^2 n \) luôn nằm trong khoảng [0, 1].
- Không có giá trị nào là số nguyên (có thể chỉ là 0 trong trường hợp đặc biệt khi \( n = k\pi \)).
- Kết luận: Dãy này cũng không bị chẵn.

Do đó, **không có dãy nào bị chẵn** trong các dãy số đã cho.