Cho tam giác ABC có góc B = 90 độ, đường cao BH. M là trung điểm BH và K là điểm đối xứng với C qua B. Chứng minh: KH vuông góc với AM

Để chứng minh KH vuông góc với AM trong tam giác ABC có góc B = 90 độ, ta tiến hành như sau:

1. **Đặt hệ tọa độ**:
- Giả sử điểm B nằm ở gốc tọa độ (0, 0), điểm A ở (0, a), và điểm C ở (b, 0), với a, b > 0.
- Do đó, H là chân đường cao từ A, tức là H có tọa độ (0, 0). Điểm B cũng ở (0, 0).

2. **Tìm tọa độ M**:
- M là trung điểm của BH, nên tọa độ M sẽ là:
\[
M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2} \right)
\]

3. **Tìm tọa độ K**:
- K là điểm đối xứng với C qua B. Tọa độ của C là (b, 0), do đó tọa độ của K sẽ là:
\[
K = (0 - b, 0) = (-b, 0)
\]

4. **Tìm phương trình đường thẳng AM**:
- Đường thẳng AM đi qua A và M. Tọa độ A là (0, a) và M là (0, \frac{a}{2}).
- Hệ số góc của đường thẳng AM là:
\[
k_{AM} = \frac{\frac{a}{2} - a}{0 - 0} = \text{không xác định (đường thẳng đứng)}
\]
- Vậy, đường thẳng AM có phương trình: \( x = 0 \).

5. **Tìm phương trình đường thẳng KH**:
- Đường thẳng KH đi qua K và H. Tọa độ K là (-b, 0) và H là (0, 0).
- Hệ số góc của đường thẳng KH là:
\[
k_{KH} = \frac{0 - 0}{0 - (-b)} = 0
\]
- Vậy, đường thẳng KH đi qua cả hai điểm có cùng y = 0 (đường nằm ngang).

6. **Chứng minh KH vuông góc với AM**:
- Đường thẳng AM là đường thẳng đứng (x = 0) và đường thẳng KH là đường nằm ngang (y = 0), vì vậy chúng vuông góc với nhau.

Kết luận: **KH vuông góc với AM**, hoàn thành bài toán.