Con lắc đơn gồm một vật m = 0,1 kg treo bằng một dây có chiều dài l = 1m. Lấy g = π² m/s². Kéo con lắc ra khỏi VTCB để cho dây treo lệch một góc cực đại co = 6º so với phương thẳng đứng rồi buông ra không vận tốc đầu

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### Phần a: Viết phương trình dao động của con lắc

Con lắc đơn dao động điều hòa với tần số góc \(\omega\) được tính bằng công thức:

\[
\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{\pi^2}{1}} = \pi \text{ (rad/s)}
\]

Góc lệch cực đại \(\theta_0 = 6^\circ = \frac{6\pi}{180} = \frac{\pi}{30} \text{ (rad)}\).

Phương trình dao động của con lắc có dạng:

\[
\theta(t) = \theta_0 \cdot \cos(\omega t)
\]

Thay các giá trị vào, ta có:

\[
\theta(t) = \frac{\pi}{30} \cdot \cos(\pi t)
\]

### Phần b: Xác định vị trí và vận tốc tại \(t = \frac{1}{3}s\)

1. **Tính vị trí \(\theta(t)\)**:

Thay \(t = \frac{1}{3}\) vào phương trình dao động:

\[
\theta\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{30} \cdot \cos\left(\pi \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{30} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{30} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{60}
\]

2. **Tính vận tốc**:

Vận tốc góc \(\omega(t)\) của con lắc được tính theo đạo hàm của phương trình \(\theta(t)\):

\[
\omega(t) = -\theta_0 \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)
\]

Thay các giá trị vào:

\[
\omega(t) = -\frac{\pi}{30} \cdot \pi \cdot \sin(\pi t)
\]

Tính tại \(t = \frac{1}{3}\):

\[
\omega\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{30} \cdot \pi \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi^2}{30} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2 \sqrt{3}}{60}
\]

**Vận tốc tuyến tính**:

\[
v = l \cdot \omega(t) = 1 \cdot -\frac{\pi^2 \sqrt{3}}{60} = -\frac{\pi^2 \sqrt{3}}{60} \text{ m/s}
\]

3. **Xác định động năng và thế năng tại \(t = \frac{1}{3}s\)**:

- **Thế năng (U)**:

Thế năng ở vị trí góc \(\theta\) được tính bằng công thức:

\[
U = mgh = mg l(1 - \cos\theta)
\]

Trong đó \(h = l(1 - \cos(\theta))\) và \(g = \pi^2\).

Tính thế năng tại thời điểm đó:

\[
U = 0.1 \cdot \pi^2 \cdot 1 \cdot (1 - \cos\left(\frac{\pi}{60}\right))
\]

Khi tính toán \(\cos\left(\frac{\pi}{60}\right) \approx 1\) nên gần đúng:

\[
h \approx 1 - (1 - \frac{\left(\frac{\pi}{60}\right)^2}{2}) = \frac{\pi^2}{2 \cdot 3600} = \frac{\pi^2}{7200}
\]

Từ đó:

\[
U \approx 0.1 \cdot \pi^2 \cdot \frac{\pi^2}{7200} = \frac{0.1 \pi^4}{7200}
\]

- **Động năng (K)**:

Động năng được tính bằng:

\[
K = \frac{1}{2} m v^2
\]

Tính \(\frac{1}{2} m v^2\):

\[
K = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot \left(-\frac{\pi^2 \sqrt{3}}{60}\right)^2 = \frac{0.1}{2} \cdot \frac{\pi^4 \cdot 3}{3600} = \frac{0.1 \cdot 3 \pi^4}{7200} = \frac{0.3 \pi^4}{7200}
\]

### So sánh động năng và thế năng:

Ta có:

- Thế năng \(U \approx \frac{0.1 \pi^4}{7200}\)
- Động năng \(K \approx \frac{0.3 \pi^4}{7200}\)

So sánh:

\[
K = 3U
\]

Vậy động năng lớn hơn thế năng gấp 3 lần tại thời điểm t = 1/3 s.