Để tìm nghiệm nguyên dương cho phương trình \(x + y + z = xyz\), ta có thể thực hiện một số bước phân tích như sau:

1. **Biến đổi phương trình**: Ta có thể biến đổi phương trình thành dạng:

\[
xyz - x - y - z = 0
\]

2. **Sắp xếp lại**: Chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình thành:

\[
xyz - x - y - z + 1 = 1
\]

Hoặc, nếu chúng ta nhóm lại:

\[
(x-1)(y-1)(z-1) = x + y + z - 1
\]

Trong đó, ta đã thêm 1 và trừ 1 cùng một lúc.

3. **Thử với các giá trị nguyên dương nhỏ**: Giả sử \(x\), \(y\), và \(z\) đều là các số nguyên dương nhỏ, ta có thể thử chứng minh bằng phương pháp liệt kê.

- Giả sử \(x = 1\):

\[
1 + y + z = 1 \cdot y \cdot z \implies y + z = yz - 1 \implies yz - y - z = 1
\]

Biến đổi lại có thể viết thành:

\[
(y-1)(z-1) = 2
\]

Các cặp \((y-1, z-1)\) là các cặp số nguyên dương có tổng bằng 2. Từ đây, ta có các trường hợp:

- \((1, 2) \Rightarrow (y, z) = (2, 3)\) hoặc \((3, 2)\)
- \((2, 1) \Rightarrow (y, z) = (3, 2)\) hoặc \((2, 3)\)

- Tiếp theo, thử với \(x = 2\):

\[
2 + y + z = 2yz \implies y + z = 2yz - 2
\]

Tương tự, ta có thể phân tích cho trường hợp này và tìm kiếm giá trị \(y, z\) phù hợp.

4. **Tìm giá trị cụ thể**:
- Một số nghiệm nguyên dương có thể tìm thấy là:

- Khi \( (x, y, z) = (1, 2, 3) \) hoặc các hoán vị của chúng.

Sau khi thử nghiệm với nhiều giá trị và sử dụng cách diễn đạt trên, các nghiệm nguyên dương sẽ là:

\[
(x, y, z) = (1, 2, 3) \quad \text{và các hoán vị của nó.}
\]

Ngoài ra, có thể có thêm nghiệm như \( (2, 3, 1) \) hoặc \( (3, 1, 2) \), ... Hãy thử nghiệm thêm với các giá trị nguyên dương lớn hơn và kiểm tra.

Kết quả là các nghiệm nguyên dương của phương trình \(x + y + z = xyz\) bao gồm các hoán vị của \( (1, 2, 3) \).