Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương \( a \) và \( b \):

\[
\frac{a^2b}{2a^2 - b^2} - \frac{2}{3}ab \geq \frac{a^2 + 2ab}{2a^2 + b^2}
\]

Để đơn giản hóa và chứng minh bất đẳng thức này, ta viết lại nó theo một dạng khác.

1. Đưa tất cả các phần về một phía:

\[
\frac{a^2b}{2a^2 - b^2} - \frac{2}{3}ab - \frac{a^2 + 2ab}{2a^2 + b^2} \geq 0
\]

2. Tìm mẫu chung và có thể phân tách các phân số.

Vì \( 2a^2 - b^2 > 0 \) (vì \( 2a^2 > b^2 \) khi \( b \) nhỏ hơn một giá trị nhất định, ví dụ \( b < \sqrt{2}a \)), và \( 2a^2 + b^2 > 0 \) nên ta có thể tính toán như sau.

3. Sau đó ta sẽ đưa về một biểu thức một phân số và xét dấu.

Để thực hiện rõ ràng hơn, ta có thể bắt đầu bằng việc giản ước. Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a^2b(2a^2 + b^2) - (2/3)ab(2a^2 - b^2)(2a^2 + b^2) - (a^2 + 2ab)(2a^2 - b^2)}{(2a^2 - b^2)(2a^2 + b^2)} \geq 0
\]

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra giá trị của từng phần trong tử số để xác nhận rằng tử số là không âm. Để thực hiện việc này, bạn có thể thay đổi các giá trị của \( a \) và \( b \) và chứng minh đối với trường hợp cụ thể hoặc sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức như chỉ số AM-GM hay Cauchy-Schwarz.

Kết luận rằng biểu thức cuối cùng này luôn lớn hơn hoặc bằng 0 cho tất cả các \( a, b \) dương sẽ cho ta được kết quả yêu cầu.

Hy vọng hướng dẫn này giúp bạn làm rõ hơn! Nếu cần thêm chỉ số cụ thể hay một cách chứng minh khác, hãy cho tôi biết!