a) có E là điểm đổi xứng H qua M suy ra M là trung điểm của EH
ta có E là trung điểm của EH, E cũng là trung điểm của AB
suy ra tứ giác AHBE là hình bình hành
có AHB = 90 độ ( do AH vuông góc BC)
suy ra tứ giác AHBE là hình chữ nhật
b) trong tam giác cân ta có đường cao cũng là đường trung tuyến 
suy ra AH là trung tuyến tam giác ABC 
suy ra BH = CH
từ a ta có tứ giác AHBE là hình chữ nhật 
suy ra EA = BH và EA // BH
có BH = CH ( cmt )
suy ra EA = CH và EA // CH
suy ra tứ giác ACHE là hình bình hành 
c) 
có tứ giác ACHE là hình bình hành 
suy ra AH cắt CE tại trung điểm O mỗi đường(1)
xét tam giác AHC 
có O là trung điểm AH ( cmt )
N là trung điểm AC ( GT )
suy ra ON là đường trung bình tam giác AHC 
suy ra ON // HC
xét tam giác AHB
có O là trung điểm AH (cmt)
M là trung điểm AB  (gt)
suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABH
theo tiên đề Euclid qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
có H là trung điểm của BC 
mà ON // HC, OM // HB
suy ra MN // BC
suy ra M,O,N thẳng hàng (2)
từ (1)(2) suy ra AH, CE, MN đồng quy và đồng quy tại O
d)
xét tam giác KHC và AEC
∠AKH = ∠AEC = 90° (do AH ⊥ BC, HE ⊥ AC)
∠KAH = ∠CAE (đối đỉnh)
suy ra ΔAKH ~ ΔAEC (g.g)
suy ra AK/AE = KH/EC

suy ra ∠KCH = ∠CAE
Mà ∠KAH = ∠CAE (đối đỉnh)
suy ra ∠KCH = ∠KAH

xét tam giác AKH và tam giác CHK :

∠AKH = ∠CHK = 90°
∠KAH = ∠KCH (chứng minh trên)
⇒ ΔAKH ~ ΔCHK (g.g)
suy ra AK/CH = KH/HK suy ra AK = CH
mà CH = AE ( do ACHE là hình bình hành )
suy ra AK = AE
mà M là trung điểm AB

•  

AM = MB
Mà AK = AE
suy ra AB = AK + KB = AE + AM = 2AM

Vậy AB = 3AK.