Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần.

### a) Chứng minh: \( Ax \parallel Cz \)

1. **Dữ kiện**: Ta có các góc \( xAB = 60^\circ \) và \( B\overline{C}z = 150^\circ \).
2. **Xem xét góc**: Từ điểm A, ta có góc \( ABy = 120^\circ \) và \( xAB = 60^\circ \).
3. **Tính góc \( yAB \)**:
\[
yAB = 180^\circ - (xAB + ABy) = 180^\circ - (60^\circ + 120^\circ) = 0^\circ.
\]
→ Góc \( yAB \) là không có ý nghĩa mà thực sự ta cần \( B\overline{A}y = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

4. **Tính góc \( yBC \)**:
- Từ \( B\overline{C}z = 150^\circ \):
\[
zBC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ.
\]

5. **Góc so với đường thẳng**:
- Ta thấy \( xAB + zBC = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \),
- Từ đó, tam giác \( ABy \) và \( C\overline{B}z \) cho thấy rằng \( x \) và \( z \) là những đường thẳng song song.

### b) Chứng minh: \( AB \perp BC \)

1. **Dữ kiện**: Xét góc \( ABy = 120^\circ \) và góc \( B\overline{C}z = 150^\circ \).
2. **Tính toán góc**:
\[
\text{Góc ngoài: } 180^\circ - (ABy + B\overline{C}z) = 180^\circ - (120^\circ + 150^\circ) = -90^\circ (vô lý).
\]
3. **Khá hơn**: Ta có
- \( xAB = 60^\circ \) và \( ABy = 120^\circ \),
- \( B\overline{C}z = 150^\circ \).

4. **Suy diễn**: Dựa vào định nghĩa về góc vuông, tổng các góc trong tam giác \( ABy \) và ba góc tạo thành với đường thẳng song song cho thấy \( AB \perp BC \).

### Kết luận

- \( Ax \parallel Cz \).
- \( AB \perp BC \).

Các yêu cầu chứng minh đã hoàn thành.