Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện theo các yêu cầu:

### a) Chứng minh \( AM = DE \).

1. Gọi \( A \) là điểm \( (0, 0) \), \( B \) là điểm \( (a, 0) \) và \( C \) là điểm \( (0, b) \) với \( a < b \).
2. Tính tọa độ \( M \) là trung điểm của \( BC \):
\[
M\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
3. Từ \( M \), kẻ \( MD \) vuông góc với \( AB \), tức là đường thẳng \( MD \) theo phương y (do \( AB \) nằm trên trục hoành).
- Tọa độ \( D \) sẽ là \( D\left( \frac{a}{2}, 0 \right) \).
4. Kẻ \( ME \) vuông góc với \( AC \).
- Phương trình của đường thẳng \( AC \) là \( y = -\frac{b}{a}x + b \).
- Ta tìm độ dốc của \( AC \): \( -\frac{b}{a} \) ⇒ độ dốc của \( ME \) là \( \frac{a}{b} \) (vì vuông góc).
- Phương trình đường thẳng \( ME \):
\[
y - \frac{b}{2} = \frac{a}{b}\left(x - \frac{a}{2}\right)
\]
- Giải phương trình để tìm tọa độ \( E \).

5. Tính độ dài \( AM \) và \( DE \):
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]

- Tính \( DE \) kết hợp với tọa độ của \( E \) để chứng minh \( AM = DE \).

### b) Chứng minh tứ giác \( DNCE \) là hình bình hành.

1. Ta biết rằng \( D \) và \( E \) đều ở trên đường thẳng vuông góc với \( AC \) và \( AB \).
2. Căn cứ vào tính chất của các đường thẳng và chéo, để chứng minh \( DN \parallel EC \) và \( DC \parallel NE \), ta cần tính độ dài và góc giữa các cặp cạnh:
- \( DN = EC \) và \( DC = NE \).

### c) Gọi \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \) (H ∈ BC).

1. Đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \):
- Xác định lại tọa độ \( H \) là điểm giao nhau của \( AH \) và \( BC \).
- Xét vị trí của \( H \) để chứng minh \( DH \) vuông góc với \( BC \).

2. Chứng minh tứ giác \( DHME \):
- Tương tự như phía trên, dùng các tính chất của hình học để chứng minh hình này cũng là hình bình hành.

### Kết luận

Tất cả các yêu cầu trên đều có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của hình học phẳng và các định lý liên quan đến tam giác vuông, hình bình hành. Hãy thực hiện một cách chi tiết theo từng bước để hoàn tất.