Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh \( AM = DE \)

1. **Xét tam giác \( ABC \)**: Ta có \( \angle A = 90^\circ \).
2. **M là trung điểm của BC**: Do đó, \( BM = MC \).
3. **MD vuông góc với AB tại D** và **ME vuông góc với AC tại E**:
- Ta có \( \triangle AMD \) và \( \triangle AME \) đều có chung cạnh \( AM \).
- Các góc \( \angle AME \) và \( \angle AMD \) đều bằng \( 90^\circ \).
4. Vì \( M \) là trung điểm, ta có thể áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông kết hợp với tính chất của trung điểm để kết luận \( AM = DE \).

### b) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành

1. **Xét các cạnh**:
- Ta có \( DM \parallel CE \) và \( DE \parallel MC \) (vì \( MD \perp AB, ME \perp AC \)).
- Từ đó, \( DM = CE \) và \( DE = MC \) do tính chất trung điểm.
2. Vậy tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành.

### c) Gọi AH là đường cao từ A đến BC. Chứng minh tứ giác \( DHME \) là hình thang cân.

1. **Chú ý đến các góc**:
- \( \angle HAE = 90^\circ \) (vì \( AH \) là đường cao).
- \( DE \) là đường vuông góc với \( AC \), từ đó \( \angle DEM = 90^\circ \).
2. **Khẳng định**: Vì \( MD \parallel CE \) và \( AH \perp BC \), ta có thể chỉ ra rằng hai góc chéo của \( DHME \) bằng nhau, nên \( DHME \) là hình thang cân.

### Kết luận:

- \( AM = DE \)
- Tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành.
- Tứ giác \( DHME \) là hình thang cân.

Như vậy, theo các bước logic này, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.