Để giải phương trình \( \frac{x}{x-2} = \frac{1}{x+1} + 1 \), ta sẽ thực hiện một số bước như sau:

### Bước 1: Đưa về cùng mẫu số

Phương trình có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{x}{x-2} = \frac{1}{x+1} + 1
\]

Ta có thể viết lại \(1\) dưới dạng phân số:

\[
1 = \frac{x+1}{x+1}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
\frac{1}{x+1} + 1 = \frac{1}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{1 + (x+1)}{x+1} = \frac{x+2}{x+1}
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình

Từ đó, phương trình trở thành:

\[
\frac{x}{x-2} = \frac{x+2}{x+1}
\]

### Bước 3: Nhân chéo

Ta sẽ nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\[
x \cdot (x+1) = (x-2) \cdot (x+2)
\]

Kết quả là:

\[
x^2 + x = (x-2)(x+2)
\]

\[
x^2 + x = x^2 - 4
\]

### Bước 4: Rút gọn phương trình

Ta rút gọn phương trình:

\[
x^2 + x - x^2 + 4 = 0
\]

\[
x + 4 = 0
\]

### Bước 5: Giải phương trình

Giải phương trình này, ta có:

\[
x = -4
\]

### Kiểm tra nghiệm

Ta cần kiểm tra nghiệm này vào phương trình gốc để chắc chắn là nó không làm mẫu số bằng 0.

- Khi \(x = -4\):
- Mẫu số \(x-2 = -4 - 2 = -6\) (không bằng 0)
- Mẫu số \(x+1 = -4 + 1 = -3\) (không bằng 0)

Vậy nghiệm \(x = -4\) hợp lệ.

### Kết luận

Nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-4}
\]