Phương pháp giải

Biểu diễn un − u1 theo n.

Lời giải

Ta có: \({u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1,\,\,n = 1,2,3, \ldots \)

\( \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1 = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2 =  \ldots  = {u_2} - {u_1} + n\)

Do đó

\({u_n} - {u_1} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) +  \ldots  + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) = (n) + (n - 1) +  \ldots  + (2)\)

\( \Rightarrow {u_n} = 1 + 2 +  \ldots  + n = \frac{{n(n + 1)}}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{}{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{n(n + 1)}}{{2{n^2}}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(a + b = 3\)