Cho tam giác ABC nhọn có đường cao BH (H ∈ CA). Chứng minh: SABC = 1/2 AC.AB.sinA

Để chứng minh rằng diện tích tam giác \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin A \), ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác dựa trên cạnh và góc.

**Bước 1:** Xác định các yếu tố liên quan.

- Trong tam giác \( ABC \), hãy ký hiệu:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( A = \angle BAC \)
- \( H \) là chân đường cao từ \( B \) xuống cạnh \( AC \).

**Bước 2:** Xác định chiều cao và tính diện tích.

- Diện tích tam giác có thể tính bằng công thức:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{cạnh} \times \text{chiều cao}
\]

- Cạnh ở đây là \( AC \) và chiều cao từ \( B \) là \( BH \). Do vậy, ta có:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BH
\]

**Bước 3:** Phân tích chiều cao \( BH \).

- Từ tam giác nhọn \( ABC \), ta có thể sử dụng định nghĩa của hàm sin:

\[
\sin A = \frac{BH}{AB}
\]

=> Từ đó, ta có thể tính \( BH = AB \cdot \sin A \).

**Bước 4:** Thay thế vào công thức diện tích:

- Thay \( BH \) vào công thức diện tích:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times (AB \cdot \sin A)
\]

=> Điều này dẫn đến:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin A
\]

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh rằng diện tích của tam giác nhọn \( ABC \) được tính như sau:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin A
\]

### Phần 2:
Với \( A = 60^\circ \), \( AB = 4 \text{ cm} \), và \( AC = 6 \text{ cm} \):

Ta đã có:
- \( AB = 4 \text{ cm} \)
- \( AC = 6 \text{ cm} \)

- Tính diện tích theo công thức đã tìm được ở trên:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin(60^\circ)
\]
\[
= \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
= 12\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

Sau khi tính diện tích, ta có thể áp dụng thêm vào bài toán đường phân giác \( AD \). Việc tính độ dài của \( AD \) và các yêu cầu khác sẽ cần thêm không gian để giải quyết, bạn có thể mô tả thêm nếu cần tính cụ thể hay phương pháp nào khác.