Cho tam giác ABC có BA = BC. Vẽ cung tròn tâm A và cung tròn tâm C cùng bán kính, cắt nhau tại D (B và D cùng phía với AC)

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Chứng minh rằng BD là tia phân giác của góc ABC

1. **Giả sử điểm D nằm trên hai cung tròn**:
- Cung tròn tâm A với bán kính BA, tức là \( AD = AB \).
- Cung tròn tâm C với bán kính BC, tức là \( CD = BC \).

2. **Do đó, ta có**:
\[
AB = AD \quad \text{và} \quad BC = CD
\]

3. **Trong tam giác ABD và tam giác CBD**:
- \( AB = AD \) (cạnh chung với cung tròn tâm A).
- \( BC = CD \) (cạnh chung với cung tròn tâm C).
- \( BD \) là cạnh chung.

4. **Vì vậy, theo định lý về tam giác đồng dạng**:
- Tam giác ABD bằng tam giác CBD theo cạnh - cạnh - cạnh (CCG).

5. **Từ đó suy ra**:
\[
\angle ABD = \angle CBD \quad \text{do đó} \quad BD \text{ là tia phân giác của } \angle ABC
\]

### b. Chứng minh BD vuông góc với AC

1. **Dựa vào định lý đường tròn:**
- Hai bán kính (AD và CD) từ cùng một điểm (D) tới hai điểm trên đường tròn (A và C) tạo thành một góc vuông với dây (AC).

2. **Vì D nằm trên cung tròn, theo định lý:**
\[
\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ
\]

3. **Do đó, từ các góc vuông vừa chứng minh được định lý về tia phân giác và góc vuông với AC, ta có**:
\[
BD \perp AC
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành xong các phần chứng minh trong bài toán.