Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh AB, AC. Chứng minh

Để chứng minh các kết luận trong bài toán, ta tiến hành theo từng bước như sau:

1. **Chứng minh \( AD \cdot AB = AB \cdot AC \)**:
- Ta có tam giác nhọn \( ABC \) với \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Từ định nghĩa chiều cao, ta có \( DH \) là chiều cao từ \( H \) đến cạnh \( AB \) và \( EH \) là chiều cao từ \( H \) đến cạnh \( AC \).
- Sử dụng định lý Pytago cho tam giác \( AHD \) và \( AHE \):
\[
AD^2 + DH^2 = AH^2 \quad \text{và} \quad AE^2 + EH^2 = AH^2
\]
- Từ đó suy ra \( AD = AE \).

2. **Chứng minh \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) và \( ADE = AHE \)**:
- Ta có các góc tương ứng như sau:
- \( \angle ADE = \angle ACB \) (do \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên cạnh \( AB \) và \( AC \))
- \( \angle AHE = 90^\circ = \angle ACB \)
- Từ đó suy ra rằng các góc còn lại cũng tương ứng, do đó \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \).
- Tương tự, \( \triangle AHE \sim \triangle ABC \).

3. **Chứng minh \( DH = AH \cdot \sin BAC \)**:
- Xét tam giác vuông \( AHE \):
\[
\sin BAC = \frac{DH}{AH}
\]
- Vậy:
\[
DH = AH \cdot \sin BAC
\]

Tổng hợp lại, ta đã chứng minh được \( AD \cdot AB = AB \cdot AC \), \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) và \( DH = AH \cdot \sin BAC \).