Để tìm số tự nhiên \( a \) lớn nhất thoả mãn các điều kiện cho trước, ta sẽ xét từng phần:

1. **140 : a và 20 : a:**
- Số \( a \) phải là ước chung của 140 và 20.
- 140 có các ước là: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140.
- 20 có các ước là: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
- Các ước chung là: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
- Số lớn nhất là **20**.

2. **15 : a và 30 : a:**
- Số \( a \) phải là ước chung của 15 và 30.
- 15 có các ước là: 1, 3, 5, 15.
- 30 có các ước là: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
- Các ước chung là: 1, 3, 5, 15.
- Số lớn nhất là **15**.

3. **24 : a và 18 : a:**
- Số \( a \) phải là ước chung của 24 và 18.
- 24 có các ước là: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- 18 có các ước là: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Các ước chung là: 1, 2, 3, 6.
- Số lớn nhất là **6**.

4. **27 : a và 9 : a:**
- Số \( a \) phải là ước chung của 27 và 9.
- 27 có các ước là: 1, 3, 9, 27.
- 9 có các ước là: 1, 3, 9.
- Các ước chung là: 1, 3, 9.
- Số lớn nhất là **9**.

Tổng hợp lại, các giá trị lớn nhất của \( a \) tương ứng là:
- 1) 20
- 2) 15
- 3) 6
- 4) 9

Do đó, số tự nhiên \( a \) lớn nhất là **20**.