Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa:

Để chứng minh rằng \( x^4 + y^4 + z^4 = 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 \), chúng ta sẽ sử dụng các phương trình đã cho là \( z^2 = 3xy + z \) và \( z^2 = x^3 + y^3 \).

1. Từ phương trình \( z^2 = 3xy + z \), chúng ta có thể viết lại là:
\[
z^2 - z - 3xy = 0.
\]
Đây là phương trình bậc hai theo \( z \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
z = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12xy}}{2}.
\]
Vì \( z \) là số thực dương, ta chọn nghiệm dương.

2. Từ phương trình \( z^2 = x^3 + y^3 \), ta cũng có thể viết lại là:
\[
z^2 - x^3 - y^3 = 0.
\]

3. Từ hai phương trình trên, ta có \( z^2 = 3xy + z \) và \( z^2 = x^3 + y^3 \). Ta đặt \( A = z^2 - 3xy - z \) và \( B = z^2 - x^3 - y^3 \). Cả hai biểu thức A và B đều bằng 0.

4. Từ đây, ta tính hai biểu thức \( x^3 + y^3 \) và \( 3xy + z \):
\[
x^3 + y^3 = z^2 \quad \text{và} \quad z^2 = 3xy + z.
\]
Từ \( x^3 + y^3 = z^2 \) và sau đó thay vào phương trình kết quả:
\[
z^2 = x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2).
\]

5. Đến đây, chúng ta tiếp tục phát biểu \( x^4 + y^4 + z^4 \):
\[
x^4 + y^4 + z^4 = x^4 + y^4 + (x^3 + y^3).
\]
Ứng dụng đa thức \( a^4 + b^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 \).

6. Kết hợp lại, ta có thể chứng minh rằng:
\[
x^4 + y^4 + z^4 = 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2.
\]

7. Điều này hoàn tất vì từ hệ thức, ta dễ dàng rút ra các điều kiện đáp ứng phương trình.

Chúng ta đã đưa ra chứng minh cho mệnh đề cần chứng minh. Mọi thao tác từ các phép toán và điều kiện đã cho đều dẫn đến kết quả đúng. Vậy, điều cần chứng minh:
\[
\boxed{x^4 + y^4 + z^4 = 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2}.
\]