Để chứng minh MNPQ là hình thoi, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các tâm đường tròn nội tiếp.

**Bước 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P, Q**

Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \( AOB, BOC, COD, DOA \). Chúng ta có:
- M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOB.
- N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BOC.
- P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác COD.
- Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DOA.

**Bước 2: Áp dụng tính chất của hình bình hành**

Trong hình bình hành ABCD, ta có:
- Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và chia chúng thành 2 đoạn đều nhau. Tức là \( AO = OC \) và \( BO = OD \).

**Bước 3: Tính chất của tâm đường tròn nội tiếp**

Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác (gọi là I) có vị trí liên quan đến các cạnh của tam giác. Tâm I sẽ nằm ở vị trí sao cho khoảng cách từ I đến ba cạnh của tam giác là bằng nhau.

Cụ thể:
- Đối với tam giác AOB, khoảng cách từ M đến OA, OB là bằng nhau.
- Đối với tam giác BOC, khoảng cách từ N đến OB, OC là bằng nhau.
- Đối với tam giác COD, khoảng cách từ P đến OC, OD là bằng nhau.
- Đối với tam giác DOA, khoảng cách từ Q đến OD, OA là bằng nhau.

**Bước 4: Chứng minh MNPQ là hình thoi**

Để chứng minh MNPQ là hình thoi, ta cần chứng minh rằng các cạnh MN, NP, PQ, QM đều bằng nhau.

1. **Tính toán các khoảng cách:**
- Tâm M nằm trên đường trung bình nối hai điểm A và B trong tam giác AOB, nghĩa là M sẽ nằm gần điểm O. Bằng tương tự, chúng ta cũng có thể xác định các vị trí của N, P, Q.

2. **Sử dụng tính đối xứng:**
- Vì ABCD là hình bình hành, nên các tam giác AOB, BOC, COD, DOA đều có tính đối xứng qua O, và các tâm đường tròn nội tiếp M, N, P, Q cũng sẽ thể hiện tính đối xứng tương tự.

3. Từ tính chất này, ta thấy rằng:
- Đoạn MN bằng đoạn PQ vì chúng nằm đối xứng qua điểm O.
- Tương tự, đoạn NP cũng bằng đoạn MQ vì lý do tương tự.

Do đó, ta có \( MN = NP = PQ = QM \). Hay nói cách khác, bốn cạnh của tứ giác MNPQ đều bằng nhau, từ đó suy ra MNPQ là hình thoi.

**Kết luận:**

Chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác MNPQ tạo thành một hình thoi dựa trên các tính chất của tâm đường tròn nội tiếp và sự đối xứng trong hình bình hành ABCD.