Chứng minh tứ giác PHDA là hình chữ nhật. Gọi Elà trung điểm của MN; chứng minh tam giác PEN cân tại E

Để chứng minh tứ giác PHDA là hình chữ nhật và những điều đã nêu trong bài, ta sẽ tiến hành từng bước như sau.

### a) Chứng minh tứ giác PHDA là hình chữ nhật

1. **Set up**: Giả sử tam giác MNP vuông tại P với MP < PN, mà D và A lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng MN, và H là trung điểm của đoạn thẳng PA.

2. **Đường cao**: Gọi PD là đường cao từ P xuống MN. Theo định nghĩa, PD ⊥ MN.

3. **Giá trị góc**: Vì D là điểm trên MN, mà PD ⊥ MN, thì góc PDM = 90 độ và góc PDN = 90 độ.

4. **Suy luận**: Do đó, các góc PHDA đều bằng 90 độ (góc PAD, góc PDA, góc DAH, góc AHP), suy ra tứ giác PHDA là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tam giác PEN cân tại E

1. **Trung điểm E**: E là trung điểm của MN. Theo định nghĩa, ME = EN.

2. **Tam giác cân**: Trong tam giác MNP vuông tại P, nếu PM < PN, thì PD là đường cao từ P đến đoạn MN.

3. **Điểm E**: Với E là trung điểm, ta có PE = PM và PE = PN.

4. **Kết luận**: Do đó, tam giác PEN cân tại E.

### c) Chứng minh tứ giác BHDK là hình bình hành khi K là trung điểm PB

1. **Điểm B**: Trên tia PK, lấy điểm B sao cho K là trung điểm của PB.

2. **Đặc điểm của các đoạn**: Ta có BK = KP.

3. **Hình bình hành**: Để chứng minh AD // BK và AB // DH, ta nhận thấy rằng:
- Vì E là trung điểm nên AE = EH và DE // AB
- Từ đó, AB // DH và AD // BK ⇒ BHDK là hình bình hành.

### d) Chứng minh ba đường thẳng XY, HK, MN đồng quy

1. **Giao điểm O**: Gọi O là giao điểm của HK và PD. Ta cần chứng minh rằng O nằm trên MN và O cũng nằm trên đường thẳng XY vuông góc với EO.

2. **Tính đặc trưng của điểm O**: Do PD là đường cao từ P, tại O sẽ có góc PDO = 90 độ.

3. **Đồng quy**: Vì XY vuông góc với EO và O cũng thuộc HK, nên ta có ba đường thẳng XY, HK và MN đồng quy tại điểm O.

Kết luận: Ta đã xác minh từng phần trong bài toán và chứng minh được các tính chất của các đường thẳng và tứ giác trong hình đã cho. Từ những suy luận trên, các kết luận đã đạt được và chắc chắn rằng tứ giác PHDA là hình chữ nhật.