Giải thích

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Khi đó \(\left| {z - 2 + 3i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 25\left( C \right)\).

Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là 2 điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) và \({z_2}\).

Suy ra \(A,B\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).

\(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 6\) suy ra \(AB = 6\).

Gọi \(H\) là điểm biểu diễn số phức \(w' = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}\) suy ra \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(AH = \frac{2} = 3\).

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(H\) có \(AH = 3,AI = 5\) nên \(IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\).

Suy ra \(H\) thuộc đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R' = 4\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(w = {z_1} + {z_2}\) suy ra \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow {OH} \) do đó tập hợp \(M\) là đường tròn \(\left( {C''} \right)\) là ảnh của \(\left( {C'} \right)\) qua phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k = 2\) nên \(\left( {C''} \right)\) có bán kính \(R'' = 2R' = 8\).