Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và các tính chất của tam giác vuông.

**a)** Tính AH

Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ABC \):

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
\[
9^2 + 12^2 = BC^2 \implies 81 + 144 = BC^2 \implies BC^2 = 225 \implies BC = 15 \text{ cm}
\]

Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính bằng:

\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2
\]

Diện tích cũng có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]

Vậy:

\[
54 = \frac{1}{2} \times 15 \times AH \implies 54 = 7.5 \times AH \implies AH = \frac{54}{7.5} = 7.2 \text{ cm}
\]

**b)** Tính BH

Áp dụng tỉ lệ giữa các cạnh:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{BH}{AC} \implies \frac{7.2}{9} = \frac{BH}{12}
\]

Giải phương trình này:

\[
BH = \frac{7.2 \times 12}{9} = 9.6 \text{ cm}
\]

**c)** Tính \( \tan C \)

Áp dụng công thức tang cho tam giác vuông:

\[
\tan C = \frac{AH}{BH} = \frac{7.2}{9.6} = \frac{3}{4}
\]

**Kết quả:**
- \( AH = 7.2 \text{ cm} \)
- \( BH = 9.6 \text{ cm} \)
- \( \tan C = \frac{3}{4} \)