Cho tam giác ABC vuông A có BC= 6cm, đường cao AH

Để tìm điều kiện để diện tích hình chữ nhật ADHE có diện tích lớn nhất, trước tiên, hãy xác định một số ký hiệu và công thức.

Cho tam giác ABC vuông tại A, với BC = 6 cm. Gọi độ dài AH là h, và AD, AE lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.

1. **Diện tích hình chữ nhật ADHE**:

Diện tích hình chữ nhật ADHE được tính bằng công thức:

\[ S = AD \cdot AE \]

2. **Ứng dụng Định lý Pythagore**:

Trong tam giác vuông AHB và AHC, ta có:

\[
AB^2 + AH^2 = BH^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 + AH^2 = CH^2 \quad (2)
\]

Theo định lý Pythagore, ta cũng có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad (3)
\]

Với BC = 6 cm, từ (3) ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = 6^2 = 36
\]

3. **Công thức diện tích**:

Diện tích hình chữ nhật ADHE có thể viết lại là:

\[ S = AD \cdot AE = h \cdot \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

4. **Tìm điều kiện lớn nhất**:

Để diện tích S lớn nhất, ta cần tối ưu hóa h trong mối liên hệ với AB và AC. Ta sẽ sử dụng một số định nghĩa và bất đẳng thức trong hình học để tìm điều kiện tối ưu.

Theo lý thuyết, trong tam giác vuông, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông. Diện tích S của hình chữ nhật ADHE sẽ đạt cực đại khi AD và AE lớn nhất, điều này xảy ra khi AB và AC bằng nhau (tức là tam giác ABC là tam giác vuông đều).

5. **Tính diện tích lớn nhất**:

Giả sử AB = AC = x. Khi đó:

\[
x^2 + x^2 = 36 \Rightarrow 2x^2 = 36 \Rightarrow x^2 = 18 \Rightarrow x = 3\sqrt{2}
\]

Áp dụng công thức tính diện tích S:

\[
S = \frac{AB \cdot AC}{BC} \cdot \frac{AB \cdot AC}{BC} = h \cdot \frac{(3\sqrt{2})^2}{6}
\]

Cuối cùng, khi giải trị và tìm được h lớn nhất cho các giá trị x này, ta sẽ tìm ra:

Diện tích lớn nhất:

\[
S = 9 \text{ cm}^2
\]

Kết luận, điều kiện để diện tích hình chữ nhật ADHE lớn nhất là tam giác ABC vuông tại A phải là tam giác vuông đều (AB = AC), và diện tích lớn nhất là 9 cm².