Tìm các số nguyên dương x và y, thỏa mãn (x^2+ 1)(x^2+ y^2) =4x^2y

Để giải bài toán tìm các số nguyên dương \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
(x^2 + 1)(x^2 + y^2) = 4x^2y
\]

Chúng ta sẽ biến đổi và phân tích phương trình này.

Bước 1: Mở rộng phía bên trái:

\[
x^4 + x^2y^2 + x^2 + y^2 = 4x^2y
\]

Bước 2: Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
x^4 + x^2 + y^2 + x^2y^2 - 4x^2y = 0
\]

Bước 3: Tổ chức lại và nhóm các hạng tử:

\[
x^4 + (1 - 4y + y^2)x^2 + y^2 = 0
\]

Bước 4: Xem xét phương trình như một phương trình bậc hai đối với \( x^2 \):

\[
ax^2 + b = 0 \text{ với } a = 1, b = (1 - 4y + y^2)
\]

Phương trình này có nghiệm nếu và chỉ nếu:

\[
1 - 4y + y^2 \geq 0
\]

Bước 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai:

Giải phương trình bậc hai \( y^2 - 4y + 1 = 0 \) để tìm ra nghiệm của \( y \):

\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}
\]

Với \( y \) là số nguyên dương, chúng ta xét các giá trị gần nhất của \( 2 \pm \sqrt{3} \). Giá trị của \( 2 + \sqrt{3} \) khoảng 3.732 và \( 2 - \sqrt{3} \) khoảng 0.268.

Vì vậy, \( y \) có thể là các số nguyên 1, 2, 3, hoặc 4.

Bước 6: Thay thế từng giá trị của \( y \) và tìm giá trị tương ứng của \( x \):

1. **Khi \( y = 1 \)**:
\[(x^2 + 1)(x^2 + 1) = 4x^2\]
\[x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x^2 - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1\]
Kết quả: \( (x, y) = (1, 1) \)

2. **Khi \( y = 2 \)**:
\[(x^2 + 1)(x^2 + 4) = 8x^2\]
\[x^4 + 5x^2 + 4 = 8x^2 \Rightarrow x^4 - 3x^2 + 4 = 0\]
Phương trình không có nghiệm dương.

3. **Khi \( y = 3 \)**:
Tương tự:
\[(x^2 + 1)(x^2 + 9) = 12x^2\]
\[x^4 + 10x^2 + 9 = 12x^2 \Rightarrow x^4 - 2x^2 + 9 = 0\]
Phương trình không có nghiệm dương.

4. **Khi \( y = 4 \)**:
Tương tự:
\[(x^2 + 1)(x^2 + 16) = 16x^2\]
\[x^4 + 17x^2 + 16 = 16x^2 \Rightarrow x^4 + x^2 + 16 = 0\]
Phương trình này không có nghiệm dương.

Bước 7: Kết luận

Kết quả duy nhất mà chúng ta tìm được là cặp số nguyên dương \( (x, y) = (1, 1) \).

Vậy cặp số nguyên dương \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:

\((x, y) = (1, 1)\).