Để chứng minh các hình chữ nhật \( AHBD, AHCE, BCED \) trong tam giác cân \( ABC \), ta làm như sau:

### a) Chứng minh \( AHBD, AHCE, BCED \) là các hình chữ nhật.

1. **Hình chữ nhật \( AHBD \)**:
- Ta có \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( D \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( HD \).
- Điều này dẫn đến \( MH = MD \) (vì \( M \) là trung điểm).
- Vì \( AH \perp BC \) (đường cao), nên \( AH \perp AB \). Như vậy, \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Do đó, \( AHBD \) là hình chữ nhật.

2. **Hình chữ nhật \( AHCE \)**:
- Tương tự như cách trên, \( N \) là trung điểm của \( AC \) và \( E \) sao cho \( N \) là trung điểm của \( HE \).
- Do đó, \( NH = NE \).
- Vì \( AH \perp AC \), ta có \( \angle AHC = 90^\circ \).
- Vậy \( AHCE \) cũng là hình chữ nhật.

3. **Hình chữ nhật \( BCED \)**:
- Ta có \( BE \) và \( CD \) là các đoạn thẳng, với \( N \) và \( M \) là trung điểm.
- \( BE \) và \( CD \) giao nhau tại trung điểm của \( AH \) (do tính chất của trung điểm).
- \( \angle BEC \) và \( \angle CDB \) đều bằng \( 90^\circ \) bởi vì \( AH \perp BC \).
- Kết quả là \( BCED \) cũng là hình chữ nhật.

### b) Tại sao giao điểm của \( BE \) và \( CD \) là trung điểm của \( AH \)?

- Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( AC \), và \( D \) và \( E \) được xác định như vậy nên điểm giao nhau của \( BE \) và \( CD \) sẽ là điểm thẳng đứng cho các đoạn cao, dẫn đến nó là trung điểm của \( AH \).

### c) Giải thích tại sao \( DH = HE \) và \( BE = CD \).

- Bởi vì \( D \) và \( E \) là các điểm sao cho \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( HD \) và \( HE \). Do đó, \( DH = HE \) và \( BE = CD \) được chứng minh bởi sự đối xứng trong tam giác cân \( ABC \).

Kết thúc, ta đã chứng minh rằng \( AHBD, AHCE, BCED \) là các hình chữ nhật và các tính chất yêu cầu đã được chứng minh rõ ràng.