Chứng minh rằng P = 2018(a^2/b + b^2/c + c^2/a) + 1/3(a^2 + b^2 + c^2)

Để chứng minh đẳng thức \( P = 2018\left( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \right) + \frac{1}{3}(a^2 + b^2 + c^2) \) với \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( a + b + c = 1 \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và một vài biến đổi.

Mục tiêu là tìm giá trị tối thiểu của \( P \).

### Bước 1: Biểu thức và điều kiện.
Từ điều kiện \( a + b + c = 1 \), chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
\left( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \right) \left( b + c + a \right) \geq (a + b + c)^2
\]

Vì \( b + c + a = 1 \), ta có:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq (a + b + c)^2 = 1
\]

### Bước 2: Chia và trọng số.
Như vậy, ta dễ dàng thấy rằng:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 1
\]

Vậy từ đó, ta có thể viết:

\[
2018 \left(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \right) \geq 2018
\]

### Bước 3: Tính toán tổng \( a^2 + b^2 + c^2 \).
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( a^2 + b^2 + c^2 \), ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3}
\]

### Bước 4: Kết hợp các kết quả lại.
Ta kết hợp các biểu thức vừa mới tìm được để đưa ra ước lượng cho \( P \):

\[
P \geq 2018 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = 2018 + \frac{1}{9}
\]

### Bước 5: Đưa ra kết luận.
Như vậy, giá trị của \( P \) có thể được định nghĩa là lớn hơn hoặc bằng một giá trị tối thiểu, chẳng hạn là:

\[
P \geq 2018 + \frac{1}{9}
\]

Điều này cho thấy rằng, với các giá trị thực dương \( a, b, c \) sao cho \( a + b + c = 1 \), chúng ta có thể chứng minh được sự tồn tại các trường hợp cho P trong định nghĩa trên.

Do đó, từ mọi yếu tố xét tới, ta có thể kết luận rằng biểu thức \( P \) thỏa mãn các điều kiện đã nêu.