Để tìm phân dư của đa thức tích phân \( P(x) \) khi chia cho tích \( (x + 1)(x^2 + 2) \), ta cần xác định các thông tin liên quan đến các điều kiện đã cho.

Theo đề bài, ta có:

1. \( P(x) \) khi chia cho \( x + 1 \) thì dư \( 3 \), tức là:
\[
P(-1) = 3
\]

2. \( P(x) \) khi chia cho \( x^2 + 2 \) thì dư \( x + 3 \). Điều này có nghĩa là:
\[
P(x) = (x^2 + 2)Q(x) + (x + 3)
\]
cho một số đa thức \( Q(x) \) nào đó.

Để tìm phân dư \( R(x) \) khi chia \( P(x) \) cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \), ta có thể biểu diễn \( P(x) \) dưới dạng sau:
\[
P(x) = (x + 1)(x^2 + 2)Q(x) + R(x)
\]
Trong đó, \( R(x) \) là một đa thức bậc dưới bậc của \( (x + 1)(x^2 + 2) \). Tính bậc của \( (x + 1)(x^2 + 2) \):
- Bậc của \( x + 1 \) là 1.
- Bậc của \( x^2 + 2 \) là 2.
- Vậy, bậc của \( (x + 1)(x^2 + 2) \) là 1 + 2 = 3.

Do đó, \( R(x) \) sẽ có dạng:
\[
R(x) = Ax^2 + Bx + C
\]
với \( A, B, C \) là các hệ số cần tìm.

### 1. Tìm \( R(-1) \):
Từ điều kiện đầu tiên \( P(-1) = 3 \):
\[
P(-1) = R(-1)
\]
Tính \( R(-1) \):
\[
R(-1) = A(-1)^2 + B(-1) + C = A - B + C = 3
\]

### 2. Tìm \( R(i) \) và \( R(-i) \):
Theo điều kiện thứ hai, \( P(x) \) khi chia cho \( x^2 + 2 \) thì dư \( x + 3 \), điều này áp dụng cho \( x = i \) và \( x = -i \):
\[
P(i) = i + 3
\]
\[
P(-i) = -i + 3
\]

Do đó, ta có:
\[
R(i) = Ai^2 + Bi + C = -A + Bi + C
\]
Từ \( R(i) = i + 3 \):
\[
-A + Bi + C = i + 3
\]
Tương ứng với phần thực và phần ảo, ta có:
\[
-A + C = 3 \quad (1)
\]
\[
B = 1 \quad (2)
\]

Tương tự cho \( R(-i) \):
\[
R(-i) = A(-i)^2 + B(-i) + C = -A - Bi + C
\]
Từ \( R(-i) = -i + 3 \):
\[
-A - Bi + C = -i + 3
\]
Tương ứng với phần thực và phần ảo, ta có:
\[
-A + C = 3 \quad (3)
\]
\[
-B = -1 \quad (4)
\]

### Giải hệ phương trình:
Từ (2) ta có \( B = 1 \). Thay vào (4) ta kiểm tra:
\[
-1 = -1 \quad \text{(Đúng)}
\]
Thay \( B = 1 \) vào (1):
\[
-A + C = 3
\]
Thay vào (3):
\[
-A + C = 3 \quad \text{(Đúng)}
\]

Vậy, ta cần tìm thêm một biểu thức nào đó từ hệ phương trình. Kết hợp lại:
Bình luận rằng \( C = A + 3 \).

### Tìm \( C \) và \( A \):
Giả thiết với kết quả:
Giả sử \( A = a \), thì \( C = a + 3 \). Ta sẽ có thể xác định
ba ẩn số này với \( P(i), P(-i) \).

Cuối cùng, ta có các phương trình có thể Tìm được \( R(x) = Ax^2 + x + (A + 3) \).

Do đó phân dư khi chia cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \) sẽ đơn giản hóa cho ta phương trình \( R(x) = Ax^2 + 1x + (A + 3)\).

Để tìm cụ thể các hệ số này, cần thêm thông tin. Tuy nhiên, với các phân tích trên, ta có thể khẳng định formul của \( R(x) \).

Chúc bạn hoàn thành thành công bài toán!