Để chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 4, trước tiên chúng ta cần tính tổng \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{99} \). Đây là một hình thức của tổng cấp số nhân.

Tổng của một cấp số nhân có công bội \( r \) và \( n + 1 \) số hạng được tính theo công thức:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1-r}
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \( a = 1 \), \( r = 3 \) và \( n = 99 \). Vậy,

\[
A = \frac{1(1 - 3^{100})}{1-3} = \frac{1 - 3^{100}}{-2} = \frac{3^{100} - 1}{2}
\]

Giờ đây, chúng ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 4, tức là \((3^{100} - 1)/2\) chia hết cho 4. Điều này tương tương đương với việc chứng minh rằng \( 3^{100} - 1 \) chia hết cho 8.

Để làm điều này, ta sẽ xem xét \( 3^{100} \mod 8 \). Ta xét các lũy thừa của 3 modulo 8.

- \( 3^1 \equiv 3 \mod 8 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \mod 8 \)
- \( 3^3 \equiv 3 \cdot 3^2 \equiv 3 \cdot 1 \equiv 3 \mod 8 \)
- \( 3^4 \equiv 3 \cdot 3^3 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \equiv 1 \mod 8 \)

Từ đó, chúng ta nhận thấy rằng \( 3^n \mod 8 \) có chu kỳ 2:
- Nếu \( n \) là lẻ, thì \( 3^n \equiv 3 \mod 8 \)
- Nếu \( n \) là chẵn, thì \( 3^n \equiv 1 \mod 8 \)

Vì \( 100 \) là chẵn, ta có:

\[
3^{100} \equiv 1 \mod 8
\]

Vậy,

\[
3^{100} - 1 \equiv 0 \mod 8
\]

Điều này có nghĩa là \( 3^{100} - 1 \) chia hết cho 8.

Do đó, \( \frac{3^{100} - 1}{2} \) sẽ chia hết cho 4:

\[
\frac{3^{100} - 1}{2} \equiv 0 \mod 4
\]

Cuối cùng, ta kết luận rằng \( A = \frac{3^{100} - 1}{2} \) chia hết cho 4.