Ông An dự định sử dụng hết \( 5m^2 \) kính để làm một bể cá bằng hình chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Để giải bài toán, ta có bể cá hình chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng.

Gọi chiều rộng là \( x \), chiều dài sẽ là \( 2x \), và chiều cao là \( h \).

Diện tích các mặt bên của bể cá được tính theo công thức:

\[
S = 2xh + 2(2x)h = 6xh
\]

Theo đề bài, diện tích kính sử dụng là \( 5m^2 \):

\[
6xh = 5
\]

Từ đó, ta có:

\[
xh = \frac{5}{6}
\]

Dung tích \( V \) của bể cá sẽ bằng:

\[
V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h
\]

Bây giờ, để biểu diễn \( V \) chỉ bằng một biến, ta thay \( h \) từ phương trình \( xh = \frac{5}{6} \):

\[
h = \frac{5}{6x}
\]

Thay \( h \) vào phương trình tính dung tích:

\[
V = 2x^2 \cdot \frac{5}{6x} = \frac{10}{6} x = \frac{5}{3} x
\]

Để tối ưu dung tích \( V \), ta sẽ cần tìm giá trị lớn nhất cho \( x \) dựa trên điều kiện diện tích.

Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta biểu diễn \( V \) dựa trên phương trình \( xh = \frac{5}{6} \).

Chúng ta sẽ có:

\[
V = 2x^2 \cdot \frac{5}{6x} = \frac{5}{3}x
\]

Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị thích hợp cho \( x \). Gọi \( k = \frac{5}{6} \) thì \( V \) đạt cực đại tại:

\[
\frac{dV}{dx} = \frac{5}{3}
\]

Do đó, \( V \) tạo thành một hàm đồng biến trong khoảng đang xét.

Tối giản lại, ta thấy giá trị \( x \) sẽ cần tối ưu mà không được lớn hơn chiều dài và chiều rộng của bể. Từ \( xh = \frac{5}{6} \), ta có điều kiện cho \( h \), tức là chúng ta sẽ tìm một đường bao phù hợp với \( x \).

Kể từ đây, ta có thể ước lượng dung tích lớn nhất mà bể có thể chứa là khi \( x = \sqrt{x_{\max}} \):

\[
h \leq \frac{5}{6x} \leq 0.8333
\]

Cuối cùng, dung tích lớn nhất \( V \):

\[
V = 2 \cdot \frac{5}{3} x \Rightarrow V \text{ lớn nhất} \approx 1.67 m^3 \approx 1.67 L
\]

Làm tròn kết quả, ta có dung tích lớn nhất của bể cá bằng \( 1.67 \) m³.