So sánh P với 20^2

Để so sánh \( p \) với \( 20^2 \), trước tiên chúng ta sẽ tìm giá trị của \( p \) từ phương trình đã cho.

Ta có:
\[
20^{2p} = 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + \ldots + 7^{2020}
\]

Biểu thức bên phải là một tổng của cấp số cộng. Tổng này có thể được tính bằng công thức tổng của một dãy số hình học:
\[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a = 7 \) (hạng tử đầu tiên)
- \( r = 7 \) (tỉ số)
- \( n = 2020 \) (số hạng)

Vậy ta có:
\[
S = 7 \cdot \frac{1 - 7^{2020}}{1 - 7} = 7 \cdot \frac{1 - 7^{2020}}{-6} = -\frac{7}{6} (1 - 7^{2020}) = \frac{7^{2021} - 7}{6}
\]

Do đó, phương trình trở thành:
\[
20^{2p} = \frac{7^{2021} - 7}{6}
\]

Bây giờ, để so sánh \( p \) với \( 20^2 \), ta cần biến đổi phương trình này một chút:
\[
2p = \log_{20} \left( \frac{7^{2021} - 7}{6} \right)
\]
\[
p = \frac{1}{2} \log_{20} \left( \frac{7^{2021} - 7}{6} \right)
\]

Tiếp theo, ta tìm giá trị của \( 20^2 \):
\[
20^2 = 400
\]

Bây giờ ta sẽ so sánh hai giá trị \( p \) và \( 400 \). Để làm điều này, ta cần tìm \( \log_{20} \) của một số. Thay đổi cơ số:
\[
\log_{20}(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(20)}
\]

Vì vậy, ta sẽ cần tính giá trị \( \log_{10}(7^{2021} - 7) \) và \( \log_{10}(6) \) để có thể so sánh với 800. Thông thường, \( 7^{2021} \) sẽ là một số rất lớn so với 6, do đó \( 7^{2021} - 7 \approx 7^{2021} \).

Do đó, chúng ta chỉ cần tính sơ qua:
\[
\log_{10}(7^{2021}) = 2021 \cdot \log_{10}(7)
\]

Vì \( \log_{10}(7) \approx 0.845 \), nên:
\[
2021 \cdot \log_{10}(7) \approx 2021 \cdot 0.845 \approx 1705.845
\]
\[
\log_{10}(6) \approx 0.778
\]

Do đó:
\[
\log_{10}(7^{2021} - 7) \approx 1705.845
\]
\[
\log_{10}( \frac{7^{2021} - 7}{6}) \approx 1705.845 - 0.778 \approx 1705.067
\]

Quay lại với việc tính \( p \):
\[
2p \approx \frac{1705.067}{\log_{10}(20)}
\]

Với \( \log_{10}(20) \approx 1.301 \):
\[
2p \approx \frac{1705.067}{1.301} \approx 1310.18
\]
\[
p \approx 655.09
\]

Như vậy, \( p \) lớn hơn \( 20^2 = 400 \).

Tóm lại:
\[
p > 20^2
\]