Để chứng minh bất đẳng thức \( A < \frac{1}{50} \), trước tiên chúng ta cần tính biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{1}{7^2} - \frac{1}{7^4} + \frac{1}{7^6} - \frac{1}{7^8} + \cdots + \frac{1}{7^{98}} - \frac{1}{7^{100}}
\]

Ta có thể nhóm các hạng tử lại thành các cặp như sau:

\[
A = \left( \frac{1}{7^2} - \frac{1}{7^4} \right) + \left( \frac{1}{7^6} - \frac{1}{7^8} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{7^{98}} - \frac{1}{7^{100}} \right)
\]

Mỗi cặp có dạng:

\[
\frac{1}{7^{2n}} - \frac{1}{7^{2n+2}} = \frac{1}{7^{2n}} \left( 1 - \frac{1}{7^2} \right) = \frac{1}{7^{2n}} \cdot \frac{48}{49}
\]

Vậy nên,

\[
A = \frac{48}{49} \left( \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^6} + \frac{1}{7^{10}} + \cdots + \frac{1}{7^{98}} \right)
\]

Ký hiệu \( B = \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^6} + \frac{1}{7^{10}} + \cdots + \frac{1}{7^{98}} \). Đây là một cấp số cộng với bậc số hạng đầu tiên là \( \frac{1}{7^2} \) và công bội là \( \frac{1}{7^4} \).

Số hạng cuối cùng của \( B \) là \( \frac{1}{7^{98}} \). Số hạng của cấp số gồm:

\[
n = 25 \quad (\text{từ } 2 \text{ đến } 98 \text{, mỗi hạng cách nhau } 4)
\]

Công thức tổng của cấp số cộng là:

\[
S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}
\]

Trong trường hợp này, \( a_1 = \frac{1}{7^2} \), \( q = \frac{1}{7^4} \), và \( n = 25 \):

\[
B = \frac{\frac{1}{7^2} \left( 1 - \left( \frac{1}{7^4} \right)^{25} \right)}{1 - \frac{1}{7^4}} = \frac{\frac{1}{7^2} \left( 1 - \frac{1}{7^{100}} \right)}{\frac{48}{49}} = \frac{49}{48} \cdot \frac{1 - \frac{1}{7^{100}}}{7^2}
\]

Vậy \( A \):

\[
A = \frac{48}{49} B = \frac{48}{49} \cdot \frac{49}{48} \cdot \frac{1 - \frac{1}{7^{100}}}{7^2} = \frac{1 - \frac{1}{7^{100}}}{7^2}
\]

Thay vào, ta có:

\[
A < \frac{1}{49 \cdot 7^2} \approx \frac{1}{2401}
\]

Cuối cùng, ta cần so sánh \( \frac{1}{2401} \) với \( \frac{1}{50} \):

\[
\frac{1}{2401} < \frac{1}{50} \quad (\text{vì } 2401 > 50)
\]

Vậy ta có được kết luận:

\[
A < \frac{1}{50}
\]

Chứng minh xong.