Để tìm ba số chính phương liên tiếp mà tổng của chúng là một số tự nhiên có bốn chữ số giống nhau, ta cần tìm ba số nguyên dương \( n, n+1, n+2 \) sao cho:

\[
n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = a \cdot 1111
\]

với \( a \) là một số tự nhiên (tại vì một số tự nhiên có bốn chữ số giống nhau có thể viết dưới dạng \( a \cdot 1111 \)).

### Bước 1: Tính tổng

Tính tổng ba số này:

\[
n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 3n^2 + 6n + 5
\]

### Bước 2: Phương trình

Đặt:

\[
3n^2 + 6n + 5 = a \cdot 1111
\]

### Bước 3: Tìm a

Do \( a \cdot 1111 \) cần có bốn chữ số giống nhau, nên \( a \) có thể là 1, 2, ..., 9 (tương ứng với 1111, 2222, ..., 9999).

### Bước 4: Giải cho a từ 1 đến 9

**Ví dụ**:

1. **Khi \( a = 1 \)**:
\[
3n^2 + 6n + 5 = 1111 \implies 3n^2 + 6n - 1106 = 0
\]

Giải phương trình này để tìm \( n \).

2. **Thực hiện tương tự cho các giá trị \( a = 2 \) đến \( 9 \)**.

### Bước 5: Kiểm tra các giá trị của \( n \)

Sau khi giải, nếu tìm được giá trị thực của \( n \), ta tính ba số chính phương và kiểm tra xem tổng có đúng bằng \( a \cdot 1111 \) không.

Tiến hành từng bước và kiểm tra các giá trị \( n \) sẽ cho ra kết quả ưng ý.