Để giải bài tập này, ta sẽ làm từng phần một:

### Bài 1:

**a)** Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác \( DEHK \) là hình bình hành.

Ta có:
- \( H \) là trung điểm của \( GB \).
- \( K \) là trung điểm của \( GC \).

Vì \( G \) là giao điểm của các đường trung tuyến, ta có \( GD = \frac{1}{2}AB \) và \( GE = \frac{1}{2}AC \).

Từ đó, ta có \( DH = HK \), do \( H \) và \( K \) đều là trung điểm trên các đoạn thẳng \( GB \) và \( GC \).

Do đó, hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( DEHK \) bằng nhau, từ đó suy ra \( DEHK \) là hình bình hành.

**b)** Để \( \triangle ABC \) có điều kiện để tứ giác \( DEHK \) là hình chữ nhật, ta cần \( DE \perp HK \).

Ta có:
- \( DE \) là đường trung bình của \( \triangle ABC \).
- \( G \) chia \( DE \) và \( HK \) đều theo tỷ lệ \( 1:1 \).

Nếu \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) (tức là \( AB \perp AC \)), thì \( DE \) và \( HK \) sẽ vuông góc với nhau.

### Bài 2:

**a)** Chứng minh tứ giác \( ADME \) là hình chữ nhật.

- \( AM \) là đường trung tuyến, và \( MD \perp AB \), \( ME \perp AC \).
- Do đó, \( AD \) và \( ME \) vuông góc, đồng thời \( AM \) và \( DE \) cũng vuông góc với nhau.

Như vậy, tứ giác \( ADME \) có 2 cặp cạnh vuông góc, suy ra nó là hình chữ nhật.

**b)** Kẻ đường cao \( AH \) của \( \triangle ABC \).

Chọn điểm \( F \) đối xứng với \( A \) qua \( H \) và kẻ điểm \( K \) đối xứng với \( B \) qua \( H \).

Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \( ABFK \) là hình bình hành.

- Vì \( H \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AH = HF \).
- Cạnh \( BK \) cũng được tính tương tự.

Vì hai cặp cạnh đối diện \( AB \) và \( FK \), \( AH \) và \( BK \) đều có độ dài bằng nhau, ta suy ra \( ABFK \) là hình bình hành.

**c)** Chứng minh \( AK \perp CF \).

Vì \( K \) đối xứng với \( B \) qua \( H \), \( CF \) sẽ vuông góc với \( AH \).

Vậy \( AK \perp CF \) theo tính vuông góc của hai đường trung tuyến.

### Kết luận:
Các phần bài tập đã được giải quyết với lý thuyết hình học liên quan và định nghĩa hình học cơ bản. Chúc bạn học tốt!