Chứng minh BHCK là hình bình hành; tính góc BKC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng yêu cầu.

**a) Chứng minh BHCK là hình bình hành:**

1. Xét tam giác ABC có H là trực tâm.
2. Kẻ đường thẳng vuông góc AH tại B (gọi là đường thẳng BH) và vuông góc AH tại C (gọi là đường thẳng CK).
3. Theo định nghĩa, BH // AC và CK // AB do BH và CK đều vuông góc với AH (đường cao từ A).
4. Do đó, các cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật BHCK do các đường thẳng BH và CK, AC và AB tạo ra đều song song và có độ dài bằng nhau.
5. Vậy nên, hình BHCK là hình bình hành.

**b) Tính góc BKC khi góc A = 60 độ:**

1. Trong tam giác ABC, vì H là trực tâm, có thể thiết lập mối quan hệ giữa các góc trong tam giác:
- \(\angle BAH = 90^\circ - \angle B\)
- \(\angle CAH = 90^\circ - \angle C\)

2. Ta có:
- \(\angle A = \angle B + \angle C = 60^\circ + \angle C\)
- Từ đó suy ra \(\angle C = 60^\circ - \angle B\)

3. Vì BH // AC nên ta có:
- \(\angle BHC = \angle A = 60^\circ\) (các góc đối diện song song bằng nhau)

4. Theo định lý các góc bù trong tam giác:
- \(\angle BKC = \angle BHC - \angle AHB = 60^\circ - (90^\circ - \angle B)\)
- Do đó, \(\angle BKC = 60^\circ - (90^\circ - \angle B)\)

5. Thay giá trị của \(\angle C = 60^\circ - \angle B\) vào và khai triển sẽ cho ra giá trị của góc BKC.

**c) Chứng minh H, O, K thẳng hàng:**

1. O là trung điểm của BC, tức là BO = OC.
2. Ta biết rằng H là trực tâm của tam giác ABC và K là giao điểm của đường vuông góc từ B đến AC và từ C đến AB.
3. Theo định lý về trực tâm, ta có:
- Đường thẳng HO luôn đi qua giao điểm các đường vuông góc từ các đỉnh của tam giác đến các cạnh đối diện.
4. Do đó, O, K cũng thuộc đường cao vuông góc của tam giác ABC, chỉ ra rằng H, O, K thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh xong ba phần của bài toán.