Để tính biểu thức \(34 \times 12 + 334 \times 12 + 3\), ta có thể đơn giản hóa như sau:

Bước 1: Nhóm các hạng tử có chung một yếu tố.
\[
34 \times 12 + 334 \times 12 = (34 + 334) \times 12
\]

Bước 2: Tính tổng trong ngoặc.
\[
34 + 334 = 368
\]

Bước 3: Nhân kết quả với 12.
\[
368 \times 12
\]

Bước 4: Tính \(368 \times 12\).
\[
368 \times 12 = 4416
\]

Bước 5: Cuối cùng, cộng thêm 3.
\[
4416 + 3 = 4419
\]

Vậy kết quả của \(34 \times 12 + 334 \times 12 + 3\) là:
\[
\boxed{4419}
\]