Để chứng minh các đề bài đã cho, chúng ta sẽ đi từng phần một.

**a) Chứng minh OM ⊥ AB và bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.**

1. **Chứng minh OM ⊥ AB:**
- Gọi H là giao điểm của OM và AB.
- Ta có hai tiếp tuyến MA và MB, do định nghĩa của tiếp tuyến, chúng ta biết rằng OA ⊥ MA và OB ⊥ MB.
- Do đó, góc AOM và góc BOM đều bằng 90 độ.
- Ta cũng nhận thấy rằng, trong tam giác OAB, H là giao điểm của đường thẳng OM với đường thẳng AB, nên OH là đường trung bình.
- Từ đó, OM ⊥ AB vì hai đường thẳng tiếp tuyến MA và MB tạo ra các góc 90 độ với các bán kính OA và OB.

2. **Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn:**
- Xét tam giác OAB, ta có OA = OB (cùng là bán kính của đường tròn).
- Theo tính chất của các tiếp tuyến: MA = MB.
- Suy ra M là điểm nằm trên đường tròn đi qua A và B (vì M cách đều A và B).
- Để chứng minh M, A, O, B đồng thuộc một đường tròn, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng OA và OB cùng trên đường tròn này.
- Do đó, M, A, O, B là bốn điểm đồng quy trên một đường tròn.

**b) Chứng minh OI ⊥ CD (i thuộc CD), OI cắt AB tại N. Chứng minh: OI = ∠ OAI = ∠ ONA.**

- Để chứng minh các góc này tương đương, ta khẳng định rằng OA là một bán kính, và đường thẳng OI là đường trung trực của CD (tức là đường thẳng đi qua O vuông góc với CD).
- Nếu OI ⊥ CD, thì các tam giác đồng dạng được sinh ra từ các góc này sẽ cho thấy rằng ∠OAI và ∠ONA cũng bằng nhau do cùng có chung một cạnh là OA.
- Suy ra OI = ∠ OAI = ∠ ONA vì tam giác đồng dạng.

**c) Gọi E là giao điểm của CD và AB. Chứng minh HB^2 = HE.HN.**

- Để chứng minh rằng HB^2 = HE.HN, ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn cắt nhau (Power of Point).
- Theo định lý Power of Point, từ điểm E nằm bên ngoài đường tròn và cắt các đường thẳng AB tại H và CD tại E, ta có:
- HB^2 = HE.HN theo định lý Power of Point, hoặc chính xác hơn là:
- Qua E, đoạn đường thẳng nối H tới B sẽ tạo thành tam giác EHB và EHN.
- Các yếu tố này phục vụ cho việc áp dụng định lý Pythagore trên tam giác tương ứng.

Kết luận, ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.