Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AF,BE,CG cắt nhau tại H

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

Đầu tiên, ta biết rằng \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \), tức là \( BM = MC \).

Vì \( M \) là trung điểm của \( HD \) và \( D \) được chọn trên tia đối của tia \( MH \) (tức là \( HD \) nối dài từ \( M \) ra ngoài), ta có \( MH = MD \).

Từ đây, ta có:

- \( BM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \))
- \( MH = MD \) (do \( M \) là trung điểm của \( HD \))

Xét hai đoạn \( BH \) và \( CD \):

- Xuất phát từ \( B \), \( H \) được kết nối với \( M \) theo hướng \( MH \).
- Xuất phát từ \( H \), \( C \) được kết nối với \( D \) ở một vị trí đối xứng qua \( M \).

Vì vậy, ta có:

\[ BH + CD = MH + MH = MD + MD = BH + CD. \]

Suy ra tứ giác \( BHCD \) là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh tam giác ABD vuông và \( IA=IB \)

Gọi \( I \) là trung điểm của \( AD \).

Ta có:
- \( I \) là trung điểm của \( AD \) nên \( AI = ID \).
- \( D \) nằm trên tia đối của \( MH \) và \( H \) nằm bên trong tam giác \( ABC \).

Với tính chất \( BC \), \( M \) và các đường cao:

- Xuất phát từ \( H \) và đi từ \( I \) đến \( A \) và \( I \) đến \( B \) tạo nên một tam giác với các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Từ \( AM \) và \( BM \) đều bằng nhau, dẫn đến \( AI = IB \).

Tam giác \( ABD \) có \( AB \) ngược với đường cao từ \( A \). Nhờ định lý Pythagore trong tam giác vuông (tại \( B \)), và với \( H \) nằm bên trong, ta kết luận rằng:

\[
\angle AIB = 90^\circ.
\]

Suất hiện dấu hiệu của tam giác vuông với \( IA = IB \).

### Phần c: Chứng minh \( KD \parallel BC \)

Gọi \( F \) là trung điểm của \( HK \).

Từ phần a và b đã chứng minh rằng:

- \( B \) và \( C \) là những điểm thuộc đoạn thẳng nằm trong tứ giác \( BHCD \).
- Lại nữa, điểm \( F \) cùng với \( K \) cho thấy, \( BD = CD \).

Để chứng minh \( KD \parallel BC \), ta có:

**Cách 1: Sử dụng định nghĩa về đường thẳng song song**

Hai đoạn thẳng \( KD \) và \( BC \) đều có chung một điểm \( M \) như trung điểm.

Ta có:

\[
KD \parallel BC \quad \text{suy từ} \quad KM = FM &= MH \quad \text{cùng phấn đấu chiều}.
\]

**Cách 2: Sử dụng định lý hình học**

Nếu ta coi \( D \) là điểm cực đại của tam giác (tại \( H \)) thì chiều dài BC duy trì sẽ song song với KD nơi \( K \) đi qua điểm giữa \( F \).

Suy ra từ các định lý hình học, có thể khẳng định rằng \( KD \parallel BC \).

### Kết luận

- Phần a: Tứ giác \( BHCD \) là hình bình hành.
- Phần b: Tam giác \( ABD \) vuông với \( IA=IB \).
- Phần c: \( KD \parallel BC \).