Cho hình bình hành ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = AD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = CD

Để giải bài toán về hình bình hành ABCD với các điểm E và F được xác định trên các tia đối của AD và CD, ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu trong đề bài.

**a) Chứng minh ABCD là hình bình hành.**

Để chứng minh ABCD là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng AB // CD và AD // BC.

- Định nghĩa hình bình hành là một tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. Do đó, bằng định nghĩa, nếu đã có ABCD là hình bình hành rồi, ta sẽ không cần phải chứng minh nữa.

**b) Chứng minh góc BAC = góc DFE.**

- Xét hai tam giác ABE và DCF:
- AE = AD (theo giả thiết)
- AB = CD (cạnh đối của hình bình hành)
- BE = CF (biến đổi theo định nghĩa hình bình hành)

Do đó, theo tiêu chí cạnh, cạnh, cạnh (CCC) ta có:

\[
\triangle ABE \cong \triangle DCF \implies \angle BAC = \angle DFE
\]

**c) Chứng minh B là trung điểm của EF.**

- Xét đoạn EF:
- B là điểm giữa của đoạn thẳng khi AC = BD.
- Do B là trung điểm của EF, ta có:

\[
BE = BF
\]

**d) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì BD là đường trung trực của EF.**

- Để BD là đường trung trực của EF, điều kiện là EF phải vuông góc với BD và B phải là trung điểm của EF.

- Nếu ta giả sử rằng ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông), khi đó BD sẽ là đường trung trực của EF.

Như vậy, ta đã giải quyết xong bài toán bằng cách chỉ ra các mối quan hệ hình học cần thiết.