Để chứng minh các mệnh đề trong hình, ta có thể thực hiện như sau:

### a) Chứng minh ΔAHB = ΔAHC:

**Giả thiết:**
- H là trung điểm của BC (hay BH = HC).

**Phân tích:**
1. **Cạnh chung:** AH = AH (cùng một cạnh).
2. **Cạnh:** BH = HC (do H là trung điểm của BC).
3. **Góc:** ∠AHB = ∠AHC (góc ở hai đường thẳng cắt nhau).

**Kết luận:**
Theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (cgc), ta có ΔAHB = ΔAHC.

### b) Chứng minh B̂ = Ĉ:

Từ chứng minh ở phần a), ta biết rằng ΔAHB = ΔAHC. Do đó, theo quy tắc góc tương ứng của các tam giác bằng nhau:

**Kết luận:**
∠B̂ = ∠Ĉ.

### c) Chứng minh AH ⊥ BC:

Từ những gì đã chứng minh ở trên, ta thấy rằng khi H là trung điểm của BC và ΔAHB = ΔAHC, các góc B̂ và Ĉ là góc đối diện. Do đó, ta có:

**Giả thuyết:**
Góc A nằm giữa hai góc B và C.

**Kết luận:**
AH nối từ A đến H (midpoint) sẽ vuông góc với BC do góc B và C là góc đối diện và bằng nhau.

Hy vọng các bước chứng minh trên sẽ giúp bạn trong việc giải bài toán!