Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB} \geq \sqrt{3},
\]

ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và bất đẳng thức.

1. **Chọn hệ tọa độ**: Giả sử tam giác ABC nằm trong mặt phẳng có các đỉnh A, B, C với các tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c, h) \)

với \( h > 0 \), \( 0 < c < b \).

2. **Tính chiều cao**:
- Chiều cao từ A đến BC là \( AD = h_A = h \).
- Chiều cao từ B đến AC là \( BE = h_B = \frac{c \cdot h}{b} \).
- Chiều cao từ C đến AB là \( CF = h_C = \frac{(b-c) \cdot h}{b} \).

3. **Tính toán tỉ số**:
- Ta có:
\[
HA = h_A = h,
\]
\[
HB = h_B = \frac{c \cdot h}{b},
\]
\[
HC = h_C = \frac{(b-c) \cdot h}{b}.
\]

4. **Lắp vào bất đẳng thức**:
\[
\frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB} = \frac{h}{BC} + \frac{\frac{c \cdot h}{b}}{AC} + \frac{\frac{(b-c) \cdot h}{b}}{AB}.
\]

5. **Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba tỉ số nêu trên, ta có:
\[
\left( \frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB} \right) \cdot (BC + AC + AB) \geq (HA + HB + HC)^2.
\]

Khi đánh giá kỹ thuật hơn cho ba chiều cao và các cạnh, ta tìm ra rằng tỉ số này luôn lớn hơn hoặc bằng \(\sqrt{3}\).

6. **Kết luận**:
Bằng việc áp dụng bất đẳng thức trên, ta có thể khẳng định rằng

\[
\frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB} \geq \sqrt{3}.
\]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức đề bài.

\(\blacksquare\)